Przeciwko liczbom rzeczywistym

18 czerwca 2022
Blog szalonych naukowców

Pamiętamy ze szkoły kolejne zbiory liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych. Miło, przyjemnie, logicznie. A potem nie wiedzieć czemu zbiór liczb rzeczywistych. Będziecie ich Państwo bronić? A używaliście ich kiedykolwiek?

Naukę matematyki zaczynamy zwykle od liczb naturalnych N (na rysunku Natural Numbers), których używamy po prostu do liczenia. Definiuje się je nawet fachowo dosyć prosto (tzw. Aksjomatyka Peana): wprowadzamy pojęcia liczby 0 i liczby S następnej po danej liczbie (np. 3 jest następnikiem 2, 3 = S(2)), przy czym każda liczba ma następnik, 0 nie jest następnikiem żadnej liczby i jeśli liczby są równe, to ich następniki też. Zbiór po pierwsze zawierający 0 i po drugie mający taką właściwość, że jeśli zawiera liczbę a, to zawiera też jej następnik S(a), zawiera wszystkie liczby naturalne. To tzw. aksjomat indukcji – mówi on, że nasz zbiór zawiera 0, a skoro zawiera 0, to zawiera 1, a skoro zawiera 1, to i 2 – i tak do nieskończoności, by nie użyć stosowanego przez niektórych prawników ad mortum defecatum.

Jak teraz zdefiniować dodawanie? Dla dowolnej liczby naturalnej a suma a + 0 to dalej a, natomiast a + następnik b to następnik sumy a + b: (a + S(b) = S(a+b)). A więc a + 1 to a + S(0) = S(a+0) = S(a). Dodawanie 1 oznacza wzięcie następnika danej liczby, w ten sam sposób dodawanie 2 oznacza wzięcie następnika następnika itd. Z mnożeniem podobnie: a razy 0 daje 0, a razy S(b) daje a razy b dodać a: (a*S(b) = a*b + a). Proste.

To teraz zapytajmy, jaką liczbę należy dodać do a, żeby otrzymać c? Skoro a + x = c, to x otrzymamy, odejmując a od c. W ten sposób dochodzimy do odejmowania. Możemy teraz zapytać, co jeśli c jest mniejsze od a? Jaką liczbę dodać do 5, by otrzymać 3? Dlatego wprowadzono, dość późno, liczby ujemne. Jak je zdefiniować? Skoro chodzi nam o wynik odejmowania c – a, gdzie c jest mniejsze od a, to liczbę tą możemy zdefiniować formalnie jako właśnie tą parę liczb (c,a). Jak zdefiniować dodawanie takich par? Oczywiście (a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d). Z mnożeniem jest trudniej, ale po chwili namysłu piszemy (a-b)*(c-d) = (ac+bd) – (bc+ad).

No dobrze, ale zauważamy, że liczba ujemna 2-4 jest równa 6-8. A więc możemy utożsamić ze sobą wszystkie pary wyrażające tą samą różnicę (matematycy nazywają to klasą abstrakcji). Można też umówić się, by pisać np. zamiast 2-4 itd. zawsze 0-2, w sumie 0 można wywalić, przecież wiadomo, że 0 to nic, i pisać samo –2. Zauważamy dalej, że -a + a daje 0, więc -a jest przeciwnością a, i tak dzięki wprowadzeniu liczb ujemnych możemy odejmowanie zdefiniować jako dodawanie liczby przeciwnej. Tak otrzymaliśmy zbiór liczb całkowitych, Z (Integers). Ponieważ każdą liczbę naturalną n można przedstawić jako pewną parę n-0, zbiór liczb całkowitych obejmuje zbiór liczb naturalnych. Jednak liczb całkowitych jest dokładnie tyle, co naturalnych. Jeśli elementy danego zbioru możemy ułożyć w ciąg, to każdemu z nich można przypisać pewien numer, a więc liczbę naturalną. Skoro dla każdego znajdzie się jedna liczba naturalna (i dla każdego inna), to elementów jest tyle samo, co liczb naturalnych. Ciągiem będzie choćby 0, 1, -1, 2, -2…

Tak samo jak z odejmowaniem możemy postąpić z dzieleniem. Przez jaką liczbę należy pomnożyć a, by otrzymać c? Przez c/a. Zauważamy, że pytanie ma sens, o ile a nie jest równe 0, bo 0 pomnożone przez cokolwiek i tak da 0. To c/a rozumiemy jako dzielenie c przez a i tak samo możemy spytać o wynik dzielenia, gdy c nie jest wielokrotnością a. Tak wprowadzamy liczby wymierne jako kolejne, inaczej rozumiane pary liczb a/b. Definiujemy działania (tym razem mnożenie idzie łatwo: a/b razy c/d to po prostu ac / bd, zauważamy przy okazji, że a/b będzie równe ka / kb (matematycy znowu będą gadać o klasach abstrakcji), z dodawaniem radzimy sobie, zauważając, że a/b + c/d = (ad + bc) / bd. Otrzymane w ten sposób liczby nazywamy wymiernymi Q (jak ang. quotient, na rysunku Rational Numbers). Jako że każda liczba całkowita c = c/1, zbiór Z zawiera się w Q.

Szkoła proponuje dalej fascynujący przeskok do liczb rzezcywstych R (Real Numbers). Po co? Ano – tłumaczy – istnieją liczby niewymierne, i już starożytni Grecy to wiedzieli (a nawet próbowali ukryć, jako że burzyło to ich obraz świata). Przekątna kwadratu o boku 1 jest liczbą niewymierną, długość okręgu o promieniu 1 jest niewymierna. Wracając do równań – nie potrafimy dalej rozwiązać x*x = 2. I dlatego potrzebujemy liczby rzeczywistych – mówi szkoła. Nie potrafimy ich zazwyczaj zapisać, ale pokłońcie im się, są potrzebne.

A jak je zdefiniować? Można to zrobić, wszak matematycy ich używają. Choćby za pomocą przekrojów Dirichleta. Opis, jak to zrobić, zająłby pewnie tyle, co cały ten wpis. Nie da się tego zrobić w żaden prosty, intuicyjny sposób. A czy potrafimy ich używać? Dodawać, mnożyć? Dość słabo, skoro większości z nich nie jesteśmy w stanie zapisać nawet. Tak, jest ich znacznie więcej niż liczb naturalnych czy wymiernych (tego już dzieciom w szkole nie powiedzą). A pozwalają chociaż na rozwiązanie wszystkich równań? A guzik, weźmy x * x = -1.

Ale ich używamy… Chwila, jakich liczb niewymiernych używamy? Pierwiastków – istotnie. Ponadto π i e. To wszystko. Dwie ostatnie liczby możemy po prostu dołączyć do liczb wymiernych. To się fachowo nazywa rozszerzeniem ciała (czyli zbioru z dwoma działaniami o właściwościach dodawania i mnożenia). Ktoś powie: w logarytmie naturalnym ich używamy, a tego rozszerzenie ciała nie rozwiąże. W teorii istotnie, w praktyce używamy przybliżeń wymiernych.

Co zaś z nieskończoną liczbą pierwiastków? Istnieją tzw. rozszerzenia algebraiczne, a więc rozszerzenie o liczbę będącą rozwiązaniem (pierwiastkiem) pewnego wielomianu o współczynnikach z tego ciała. Tylko że rozszerzenie ciała nie musi być skończone. Istnieje w końcu domknięcie algebraiczne danego ciała, będące jego rozszerzeniem o wszystkie pierwiastki wszystkich takich wielomianów.

Elementy tegoż ciała nazywamy liczbami algebraicznymi. Zawierają się tu wszystkie pierwiastki we wszelkich kombinacjach, w tym także liczba będąca rozwiązaniem równania x*x = -1 zwana i. Po wprowadzeniu kilku dodatkowych założeń dalej potrafimy podać zasady wykonywania podstawowych działań. Dowód byłby nieco dłuższy, ale liczb algebraicznych jest tyle samo co naturalnych (bo i samych wielomianów o współczynnikach wymiernych jest tyle samo). Żadnych paradoksów nieskończoności, choć niektórych liczb algebraicznych zapisać prosto nie umiemy (np. rozwiązania x^5 + x = -1).

Tutaj jednak ktoś obeznany z matematyką powie: tylko że bez ciągłości zbioru liczb rzeczywistych nie sformułujemy rachunku różniczkowego i całkowego. Być może. Ale zagadnienia te wymagają tylko istnienia liczb rzeczywistych, nie zaś jakiegokolwiek ich użycia. Ponadto kto dzisiaj uczy całek w szkołach? Pochodnej większość uczniów nie zazna. Po co więc męczyć dzieci, zwłaszcza w podstawówce, liczbami rzeczywistymi? A z drugiej strony czemu nie, od kiedy szkoła uczy rzeczy przydatnych?

Marcin Nowak

Ilustracja: Damien Karras, Real Numbers, za Wikimedia Commons, w domenie publicznej