Matematyków grupy, ciała, pierścienie, ideały…

23 sierpnia 2020
Blog szalonych naukowców

Odrywając się od niespokojnej, niepokojącej sytuacji politycznej wybierzmy dziś jakiś temat całkowicie z nią niezwiązany, najlepiej abstrakcyjny. Na przykład algebrę.

W szkole uczą jej w dość ograniczonym zakresie, rozwiązuje się głównie równania. Na bardziej zaawansowanym poziomie z szeroko pojętej algebry wyrastają odrębne wręcz dziedziny matematyki, pełne specyficznego, niezrozumiałego dla większości niematematyków słownictwa.

Zacznijmy od czegoś prostego (wszystko tutaj będziemy analizować w znacznym uproszczeniu). Weźmy zbiór i określmy w nim (a więc wynik też ma do niego należeć) pewne działanie ֎ o trzech cechach:

  1. jest łączne: a więc a ֎ (b ֎ c) = (a ֎ b) ֎ c
  2. można wyróżnić element neutralny oznaczany e (albo 0 czy 1): tzn. wynik działania równy jest drugiemu z użytych argumentów, a ֎ e = a
  3. każdy element zbioru ma element odwrotny czy przeciwny: a więc taki, że jeśli do działania wrzucimy dowolny element i element przeciwny, to otrzymany element neutralny, a ֎ (-a) = e

Jako przykład weźmy dodawanie liczb całkowitych. Suma liczb całkowitych jest całkowita. Działanie jest łączne, elementem neutralnym jest 0, a elementem przeciwnym do liczby n jest oczywiście -n. Inny przykład: obracamy sześciokąt foremny o wielokrotność 1/6 kąta pełnego. Dodawanie obrotów jest łączne, składanie obrotów daje w wyniku także obrót, brak obrotu to element neutralny, a elementem przeciwnym do obrotu o dany kąt zgodnie z kierunkiem zegara jest obrót w kierunku przeciwnym.

W obrębie jednej grupy może się mieścić inna. Jeśli będziemy dodawać liczby parzyste, wynik będzie liczbą parzystą. Liczby parzyste z dodawaniem tworzą podgrupę liczb całkowitych. A jeśli weźmiemy liczby dodatnie? Nie, ponieważ taki zbiór, nie obejmując przeciwnych do nich liczb ujemnych, nie będzie grupą.

Wszystkie omawiane grupy mają jeszcze jedną fajną właściwość (4): a ֎ b = b ֎ a. Są przemienne (matematycy powiedzą „abelowe” od norweskiego matematyka Abela). Nie każda grupa jest abelowa. Jeśli będziemy obracać figurą w przestrzeni trójwymiarowej, zbiór wszystkich obrotów z działaniem ich składania tworzy grupę, ale kolejność ich dokonywania jak najbardziej ma znaczenie (obróćmy coś w lewo i do przodu – obrót do przodu i w lewo nie doprowadzi nas do tego samego rezultatu). Twory, wydawałoby się, abstrakcyjne – grupy – odgrywają wielką rolę w fizyce, której adepci przy ich wykorzystaniu wywodzą m.in. zasady zachowania.

Dodatkowo jeśli dla każdego elementu h podgrupy H grupy G oraz dowolnego elementu grupy G wynik g ֎ h ֎ (-g) dalej należy do H, to wtedy, jakkolwiek taka konstrukcja wydawałaby się nam dziwna, na złość światu matematycy mówią, że H jest dla G dzielnikiem normalnym (a żeby tym bardziej nikt się nie zorientował, o co chodzi, piszą podstępnie H ᐊ G). Oczywiście każda podgrupa grupy abelowej jest jej dzielnikiem normalnym (dlaczego?).

Rozpatrzmy teraz zbiór liczb całkowitych z dwoma działaniami: dodawaniem i mnożeniem. Oba działania są zawsze wykonalne. Odejmowanie także. W przypadku dodawania twór taki spełnia wszystkie cztery podane wyżej cechy grupy abelowej. W przypadku mnożenia spełnia warunki łączności, przemienności i elementu neutralnego – jest nim 1. Jednak nie każdy element ma w tym zbiorze swą odwrotność. 2 jest liczbą całkowitą, ale ½ już nie. Nie możemy w zbiorze liczb całkowitych podzielić 3 przez 11. Do tych siedmiu cech dołączmy rozdzielność drugiego działania względem pierwszego (tutaj mnożenia względem dodawania, ogólnie (8) a ۞ (b ֎ c) = a ۞ b ֎ a ۞ b). Dowolny zbiór z dowolnymi działaniami spełniającymi powyższe aksjomaty nazywają matematycy pierścieniem (w uproszczeniu, w zasadzie chodzi o pierścień przemienny z jedynką), a grupę określaną czterema pierwszymi aksjomatami zwą matematycy grupą addytywną tego pierścienia.

W pierścieniu liczb całkowitych weźmy zbiór liczb podzielnych przez 7. Stanowi on grupę, ale ma jeszcze jedną interesującą właściwość. Oto dowolna liczba podzielna przez 7 pomnożona przez dowolną liczbę całkowitą dalej jest podzielna przez 7. Podgrupę grupy addytywnej pierścienia o takiej własności zwą matematycy ideałem, na przekór reszcie świata twierdzącej, że ideałów nie ma. Pisząc ogólniej: ideał ma taką właściwość, że iloczyn dowolnego jego elementu przez dowolny element pierścienia nadal do ideału należy. A żeby było jeszcze trudniej, piszą niekiedy podobnie jak w przypadku podgrup I ᐊ P.

Weźmy w końcu zbiór liczb wymiernych z dodawaniem i mnożeniem. Spełnia on wszystkie powyższe kryteria pierścienia. Dochodzi do nich jeszcze jedno. Oto w tym zbiorze każda liczba prócz 0 ma swą odwrotność. Jak widzimy, mamy tu mniej więcej dwa razy powtórzone aksjomaty grupy abelowej oraz aksjomat rozdzielności (8), który dodaliśmy, omawiając pierścień. Dziwo spełniające te dziewięć założeń matematycy nazywają ciałem. Jak widzimy, każde ciało jest pierścieniem i wbrew pozorom nie wymyślił tego tolkienowski Sauron.

Matematycy wyróżniają różne rodzaje ideałów. Jeśli do ideału należy 0, należą do niego iloczyny wszystkich elementów ciała przez to 0, iloczyn taki – nawet w algebrze – równy jest zawsze 0. Ideał ten matematycy zwą zerowym. Oczywiście cały pierścień sam jest dla siebie ideałem (matematycy zwą go niewłaściwym). Jeden ideał może zawierać się w innym (np. liczby całkowite podzielne przez 30 i przez 3). Ideał, który nie zawiera się w żadnym innym ideale prócz siebie i całego pierścienia, zwą adepci algebry maksymalnym (co wskazuje, że matematycy potrafią jednak tworzyć nazwy intuicyjne).

Skoro ciało z definicji jest pierścieniem, poszukajmy w nim ideałów. Jeżeli do ideału ciała należy tylko 0, będziemy mieli ideał zerowy. Jeśli jednak do ideału należy odwracalny (posiadający odwrotność) element a (czyli dowolny prócz 0), to do ideału należy wynik iloczynu tego a przez jego odwrotność, czyli element neutralny mnożenia, jedynka. Skoro należy ona do ideału, to należą doń iloczyny tejże jedynki przez wszystkie elementy ciała, a więc każdy element ciała należy do ideału.

Wniosek z tego, że ciało może mieć tylko dwa ideały: zerowy oraz niewłaściwy. A ideał zerowy jest dlań ideałem maksymalnym. Maksymalny ideał to 0… Nie powiem, z czym mi się to kojarzy… A miało nie być polityki…

Marcin Nowak

Ilustracja: Xander, A 3D model of the One Ring, Wikimedia Commons

PS Szanowni Państwo, które z opisanych wyżej matematycznych tworów można zauważyć w przypadku a) galerii przewijanych zdjęć, gdzie kliknięcie myszką przesuwa nas do następnego, a z ostatniego do pierwszego? b) arytmetyki modularnej, to znaczy dodawania i mnożenia reszt z dzielenia przez 8? c) i przez 7?