Okropne piękno fizyki

W dzisiejszej fizyce, kiedy stawiane hipotezy wyprzedzają o dekady techniczne możliwości ich realizacji, paradygmatem wręcz stało się poszukiwanie teorii o jak największym pięknie i prostocie. Dla fizyka piękno i prostota znaczą chyba coś innego niż dla przeciętnego człowieka.

Pięknu i prostocie w fizyce poświęcono niejedną książkę. Pisali o nich Lisa Randall, Frank Wilczek i Jim Baggott. Pisał też Michio Kaku – m.in. w „Hiperprzestrzeni”. Wybitny teoretyk stawia tezę, że wiele praw fizyki się upraszcza, jeśli przyjmiemy więcej wymiarów.

Drobna uwaga terminologiczna. Dla matematyka i fizyka wymiar to nie do końca to samo. W matematyce wymiar danej przestrzeni to po prostu najmniejsza liczba liczb, za pomocą których można jednoznacznie opisać każdy z jej elementów (uprzedzając pytania czytelników wyrobionych matematycznie: liczby zespolone i pewne sztuczki teoriomnogościowe pomijamy). Płaszczyzna ma wymiar 2, ponieważ każdy punkt opisują dwie współrzędne (zwykle x i y). Podobnie powierzchnia Ziemi, opisywana poprzez długość i szerokość geograficzną. Lista uczniów w dzienniku ma wymiar 1, ponieważ każdego ucznia opisuje 1 numer. Pytanie na zrozumienie: jaki wymiar ma zbiór wszystkich sfer zanurzonych w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa? Odpowiedź brzmi: 4 (sferę definiuje jednoznacznie jej promień i środek, opisywany trzema współrzędnymi). Przyjmując powyższe, fizyk będzie się jednak doszukiwał rzeczywistych wymiarów przestrzennych.

Wytłumaczywszy kwestię wymiaru, przyjrzyjmy się uproszczeniom. Rozpatrzmy temperaturę. Opisuje ją jedna liczba – wielkości takie nazywają się skalarami. W dowolnym punkcie naszej starej dobrej trójwymiarowej przestrzeni możemy ją (przynajmniej teoretycznie) zmierzyć. Dzisiejsza fizyka opiera się w dużym stopniu na pojęciu pola. Brzmi dość magicznie, jak niegdysiejszy eter, który miał wypełniać cały świat i stanowić ośrodek, w którym rozchodziły się fale elektromagnetyczne. Ale wszystkie próby wykrycia bezpośrednio czy też pośrednio ruchu Ziemi względem niego zakończyły się porażką, którą jeden z badaczy przypłacił pobytem w zakładzie psychiatrycznym.

Potem pojawił się Einstein, dowodząc, że pojęcie eteru nie jest nikomu do niczego potrzebne, i z pomysłu się wycofano. Dzisiejsze pole nie jest żadną substancją. Najprościej mówiąc, jest to po prostu funkcja, która każdemu punktowi danej przestrzeni przypisuje pewien obiekt matematyczny, np. pewną wartość, jak temperatura. Jeśli każdemu punktowi można przypisać temperaturę, to można mówić o polu temperatury i będzie to pole skalarne. Skalar jest liczbą, można więc posługiwać się nim za pomocą dość prostej, szkolnej matematyki.

Pozostając w tematyce meteorologicznej, opiszmy wiatr. Tworzy go ruch powietrza. Przemieszcza się ono z pewną prędkością, przy czym może mieć inną prędkość na północ, inną na wschód, a jeszcze inną do góry (kierunki możemy wybierać dowolnie, byle się nie nakładały, zawsze pozostaną jednak trzy, mówi o tym twierdzenie o tzw. bazie przestrzeni wektorowej). Prędkość w każdym punkcie opisują więc trzy liczby (żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej). Możemy ten opis – zdaniem fizyków – uprościć i miast trzech liczb podać jeden wektor opisany trzema współrzędnymi. Mówimy o polu wektorowym. Zapis równań jest znacznie prostszy (dodając dwie prędkości, zapisujemy jeden wzór, a nie trzy). Dodawanie wektorów wymaga wiedzy na poziomie liceum, a mnożenie wektora przez wektor zdefiniować można przynajmniej na trzy sposoby (otrzymuje się skalar, wektor bądź… do tego dojdziemy później).

Wektorami opisuje się np. pole elektromagnetyczne. Działającą na ładunek q siłę F (wektory zapisuję czcionką wytłuszczoną) opisać można wzorami uwzględniającymi składową elektryczną F = q * E (mnożenie ładunku przez wektor pola elektrycznego) i składową magnetyczną F = q * v x B (ładunek mnożymy tutaj przez iloczyn wektorowy prędkości i indukcji magnetycznej). E i B są trójwymiarowymi wektorami, więc aby otrzymać prawidłowy wynik, trzeba mieć pewną wyobraźnię przestrzenną, wykorzystać regułę prawej dłoni… A jeśli pomnożymy czynniki w złej kolejności, otrzymamy wynik przeciwny do właściwego. Tutaj na lekcji fizyki zwykle robi się niemiło. A jak ktoś ma, jak autor tego tekstu, dwie lewe ręce?

Jak wynika z równań, fale elektromagnetyczne przemierzają świat z prędkością światła (czyli z własną stałą prędkością, bo światło jest rodzajem takich fal). Stałość prędkości światła doprowadziła Einsteina do podważenia absolutnej trójwymiarowej przestrzeni i absolutnego czasu. Jego szczególna teoria względności oparta jest na czterowektorach, czyli z grubsza wektorach o czterech współrzędnych, np. o jednej współrzędnej czasowej i trzech przestrzennych. Operowanie nimi jest jeszcze bardziej skomplikowane, bo przy każdej większej transformacji czas i przestrzeń splatają się. Nie stanowią odrębnych bytów, a jedynie aspekty czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

Ale na tym problem się nie kończy. Mówiliśmy o polu elektromagnetycznym, a nie o polach elektrycznym i magnetycznym. Kiedyś uważane za odrębne zjawiska, zostały uznane za dwa aspekty tego samego, bardziej fundamentalnego bytu, fizycy mówią: zunifikowane. I po tej unifikacji otrzymano teorie prostsze i piękniejsze (tak też mówią w zasadzie tylko fizycy). Mamy dwa pola wektorowe, sześć liczb…

I tutaj wprowadza się kolejny obiekt matematyczny: tensor. Stanowi pewne rozszerzenie pojęcia wektora, można go traktować jako wynik pewnego rodzaju przemnożenia dwu wektorów. Zapisuje się go jako tabelkę liczb, której liczba wierszy i kolumn odpowiada liczbie współrzędnych opisujących wyjściowe wektory. (A więc formalnie skalary i wektory uznać można za pewne nader proste przypadki tensorów. Proste dla fizyków, rzecz jasna). Czterowektorom odpowiada tensor 4 na 4. Jeśli weźmiemy tensor 4 na 4, którego wszystkie współrzędne nad przekątną są przeciwne wszystkim leżącym w dopowiadających im miejscach pod nią, to ma on dokładnie sześć niezależnych współrzędnych (liczby na przekątnej są swoimi przeciwnościami, wynoszą więc 0, niezależne będą tylko współrzędne o jednej stronie przekątnej). Tensor oznaczamy zwykle dużą literą z dwoma wskaźnikami, np. Tµν na górze bądź na dole. Mówimy też o polu tensorowym.

Plusem rachunku tensorowego jest to, że równania nie zmieniają się ze względu na układ odniesienia. Minusem… no cóż, popatrzmy na główne równanie ogólnej teorii względności. Wyraża zależność między tensorem metrycznym a tensorem energii-pędu. Istotnie jest dość krótkie:

Gµν + Λgµν = Tµν 8πG/c2

Jednak najgenialniejsi fizycy potrafią rozwiązać najprostsze przypadki. Jakiekolwiek przekształcenie wymaga matematyki wyższej. Pozostaje nam jedynie pokłonić się nabożnie przed geniuszem tego równania, przepisać je sobie na kartkę i pomedytować, bo żaden zwyczajny człowiek nie będzie w stanie nic innego z nim zrobić. Albo przeciwnie, można je omijać szerokim łukiem. A kiedy widzi się podobne indeksy przy dwóch wyrazach na górze i dole, co może oznaczać konwencję sumacyjną Einsteina – uciekać.

Fizycy z tej ostatniej możliwości nie skorzystali. Skoro mamy tabelkę 4 na 4, to można oczywiście stworzyć tabelkę 5 na 5, jak w hipotezie (zwanej nieco nadmiarowo teorią) Teodora Kaluzy. Tabelka (no dobrze, tensor) obejmuje grawitację i elektromagnetyzm. Ale liczba 5 sugeruje pięć wymiarów. Gdzie ten piąty wymiar, skoro go nie widać? Może jest zwinięty, mikroskopijnych rozmiarów? Nie dostrzeglibyśmy go. My postrzegamy linę jako raczej jednowymiarową, ale okrążająca ją bardzo niewielka mrówka widzi ją jako powierzchnię walca, może ją obejść wkoło.

Pomimo braku jakichkolwiek dowodów doświadczalnych pomysł zwiniętych mikroskopijnych wymiarów spodobał się. W kolejnych zwanych teoriami hipotezach (jak teoria strun) liczba wymiarów rosła, osiągając 11, a niekiedy nawet 26 wymiarów (tak, chodzi o tensory o odpowiedniej liczbie kolumn i rzędów, w które wpakować można całą znaną fizykę oddziaływań), fizycznie zwiniętych w mikroskopijne, niezwykle skomplikowane struktury zwane rozmaitościami Calabiego-Yau (zobrazowane na rycinie powyżej). W mniejszej liczbie wymiarów równania danej „teorii” nie mają sensu.

Tak przynajmniej mówią fizycy, na tym poziomie prostoty nikt prócz nich i matematyków tych równań nie rozumie. Pozostaje tylko wierzyć, że proponowane równania są jeszcze bardziej proste i piękne.

Marcin Nowak

Bibliografia:

  • Kaku M: Hiperprzestrzeń. Próśzyński i S-ka, W-wa 2021.

Ilustracja: Andrew J. Hanson, Rozmaitość Calabiego-Yau, za Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0