Paradoks Grand Hotelu (na przykładzie szpitala)

Ostatnio mieliśmy kilka wpisów o nowych odkryciach w biologii (tutaj pisze o tym Piotr Panek, a wcześniej ja), a tymczasem, jak mawiają matematycy, prawdy matematyczne są niezmienne. Po przyjrzeniu się paradoksowi koni, wynikającemu z błędnego zastosowania indukcji matematycznej, weźmy się za kolejny matematyczny paradoks. Tym razem nie będzie mowy o żadnych błędach. Paradoks wynika z nieintuicyjności pewnych własności pewnych liczb. Chodzi o tzw. paradoks Grand Hotelu.

Hotel itd. to tylko opowieść mająca ilustrować pewne dziwaczne własności matematyczne. W oryginale był hotel, tak duży, że zawierający nieskończoną liczbę pokoi. Ale równie dobrze może to być szpital (od hoteli rzadko oczekuje się nieskończonych możliwości przyjmowania gości, od szpitali wprost przeciwnie). A więc mamy szpital, który jest tak duży, że zawiera nieskończenie wiele łóżek, wszystkich ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi, żeby rozróżnić leżących na nich pacjentów (po nazwiskach nie można, no w końcu RODO weszło). Na każdym łóżku leży pacjent – w szpitalu przebywa nieskończenie wielu pacjentów (wiem, brzmi absurdalnie, ale matematycy to wymyślili – oni nie muszą odwoływać się do faktów empirycznych).

Jak to bywa, przyjeżdża karetka z pacjentem, którego trzeba przyjąć (w oryginale przyjeżdżał kolejny gość do hotelu). Pytanie brzmi: czy można go przyjąć? W rzeczywistości niekiedy szuka się zapasowego łóżka w piwnicy, dzwoni po innych szpitalach w województwie albo poza województwem. Tylko że realnie istniejące szpitale mają skończoną liczbę łóżek. Tutaj mamy nieskończoną. Co to zmienia? Położymy nowego pacjenta na łóżku nr 1. W końcu jest nowy, chory, niech leży blisko dyżurki. OK, ale łóżko nr 1 jest zajęte. No to pacjenta z łóżka 1 przeniesiemy do łóżka nr 2. Jest zajęte? Pacjenta z łóżka nr 2 przeniesiemy do łóżka nr 3… i tak ad mortem defecatam, tfu, do nieskończoności.

Skąd wynika różnica? Gdybyśmy tak spróbowali uczynić w rzeczywistym szpitalu (pomijając skargi pacjentów i zagrożenie zdrowotne wynikające z przenoszenia ich), nie moglibyśmy tego zrobić, bo któreś łóżko byłoby tym ostatnim i leżącego na nim pacjenta nie można z niego przenieść dalej. Inaczej mówiąc, żadna liczba naturalna nie jest równa tej samej licznie zwiększonej o 1. Ale też do każdej liczby naturalnej można dodać 1. Tutaj wykonujemy opisaną procedurę – i nowy pacjent przyjęty.

A jeśli przyjedzie kilku pacjentów? Robimy tak samo. Dla n nowych pacjentów przenosimy każdego dotychczasowego pacjenta z łóżka k do łóżka k + n.

To teraz bardziej skomplikowany przykład. Przyjeżdża karetka wioząca nieskończenie wiele pacjentów (powiedzmy: jedli razem obiad i wszyscy się struli; w oryginale autobus przywiózł nieskończoną liczbę turystów). Co zrobić? Potrzebujemy przecież nieskończenie wielu wolnych miejsc, tyle, ile jest w szpitalu wszystkich miejsc! No dobra, pacjenta z łóżka 1 przenosimy do łóżka 2, pacjenta z łóżka 2 do łóżka 4 itd. (problemy praktyczne, nieznane matematykom, takie jak to, czy pacjent z pediatrii trafi na ginekologię, pomijamy. Ech, może trzeba było zostać przy hotelu, zamiast silić się na oryginalność?). Każdy „stary” pacjent ma swoje łóżko. Zwolniło się sporo. Pacjenta nowego nr 1 kładziemy na łóżku 1, nowego nr 2 na łóżku nr 3, nowego nr 3 na łóżku 5 itd. Czy dla każdego znajdzie się łóżko? Znajdzie. Położyliśmy wszystkich.

To teraz prawdziwa epidemia. Przyjeżdża nieskończenie wiele karetek, z których każda wiezie nieskończenie wielu pacjentów (w oryginale z autobusami brzmiało to tylko trochę mniej absurdalnie). Czy można położyć ich w tym szpitalu? Czytelnik domyśla się już zapewne, że można. Ale jak?

Weźmy liczby pierwsze, czyli mające dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie. Jest ich nieskończenie wiele. Dowód jest dość prosty. Załóżmy nie wprost, że nie jest ich nieskończenie wiele. Mamy więc skończony zbiór zawierający wszystkie liczby pierwsze. Pomnóżmy je wszystkie przez siebie i dodajmy 1. Otrzymana liczba jest większa od każdej liczby z naszego zbioru, więc do niego nie należy. Wobec tego nie jest liczbą pierwszą. Jednak nie dzieli się przez żadną liczbę pierwszą (reszta z dzielenia wynosi 1). Mamy sprzeczność. A więc liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Tak więc każdej karetce (i pacjentom zawczasu będącym w szpitalu) przyporządkowujemy kolejne liczby pierwsze. Kolejnych pacjentów z karetki p1 przyporządkowujemy do łóżek p1, p1*p1=p1^2, p1*p1*p1=p1^3… Działa? Działa.

Dziwne. Ale takie są własności liczb nieskończonych. Bardziej formalnie możemy zastanowić się, kiedy dwa zbiory nieskończone są równoliczne (mają tyle samo elementów) – nie jest to oczywiste, ale zbiory nieskończone mogą mieć różną liczbę elementów (o tym innym razem). Jest taki sposób stwierdzania równoliczności odwołujący się do pewnego porównania. Jeśli mamy przed sobą dzieci w przedszkolu i chcemy wiedzieć, czy chłopców i dziewczynek jest tyle samo, nie musimy ich liczyć. Niech chłopcy i dziewczynki parami wezmą się za ręce. Jeśli nie zostaną dzieci żadnej z płci bez pary, to znaczy, że chłopców i dziewczynek jest tyle samo. (Jeśli pozostaną – może tej płci jest więcej, a może dzieci po prostu nas nie słuchają).

To teraz to samo na zbiorach: jeśli istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru A na B i z B na A (a więc każdemu elementowi zbioru A przyporządkować możemy jeden element zbioru B i odwrotnie), to zbiory są równoliczne. Poszukajmy takich funkcji dla opisanych wyżej zmian numerów łóżek pacjentów w szpitalu. W naszym pierwszym przypadku f(n) = n + 1. W kolejnym f(n) = 2 * n (i dla pacjentów z karetki f(m) = 2 * m – 1). W ostatnim dla pacjenta n z karetki p mamy f(n,p) = p^n.

A więc szpital mamy naprawdę pojemny, nie byłoby kolejek (pacjenci by się cieszyli, NFZ już mniej, bo musiałby za to płacić). Ale wspominałem wyżej, że istnieją mniejsze i większe zbiory nieskończone. Omawiany przez nas jest akurat najmniejszy. Zbiorem liczniejszym od niego jest choćby zbiór liczb rzeczywistych, nie da się go upakować do naszych łóżek.

Ilustracja: Szpital. Zdjęcie wykonane przez autora.