Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców

30.11.2018
piątek

Paradoks Grand Hotelu (na przykładzie szpitala)

30 listopada 2018, piątek,

Ostatnio mieliśmy kilka wpisów o nowych odkryciach w biologii (tutaj pisze o tym Piotr Panek, a wcześniej ja), a tymczasem, jak mawiają matematycy, prawdy matematyczne są niezmienne. Po przyjrzeniu się paradoksowi koni, wynikającemu z błędnego zastosowania indukcji matematycznej, weźmy się za kolejny matematyczny paradoks. Tym razem nie będzie mowy o żadnych błędach. Paradoks wynika z nieintuicyjności pewnych własności pewnych liczb. Chodzi o tzw. paradoks Grand Hotelu.

Hotel itd. to tylko opowieść mająca ilustrować pewne dziwaczne własności matematyczne. W oryginale był hotel, tak duży, że zawierający nieskończoną liczbę pokoi. Ale równie dobrze może to być szpital (od hoteli rzadko oczekuje się nieskończonych możliwości przyjmowania gości, od szpitali wprost przeciwnie). A więc mamy szpital, który jest tak duży, że zawiera nieskończenie wiele łóżek, wszystkich ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi, żeby rozróżnić leżących na nich pacjentów (po nazwiskach nie można, no w końcu RODO weszło). Na każdym łóżku leży pacjent – w szpitalu przebywa nieskończenie wielu pacjentów (wiem, brzmi absurdalnie, ale matematycy to wymyślili – oni nie muszą odwoływać się do faktów empirycznych).

Jak to bywa, przyjeżdża karetka z pacjentem, którego trzeba przyjąć (w oryginale przyjeżdżał kolejny gość do hotelu). Pytanie brzmi: czy można go przyjąć? W rzeczywistości niekiedy szuka się zapasowego łóżka w piwnicy, dzwoni po innych szpitalach w województwie albo poza województwem. Tylko że realnie istniejące szpitale mają skończoną liczbę łóżek. Tutaj mamy nieskończoną. Co to zmienia? Położymy nowego pacjenta na łóżku nr 1. W końcu jest nowy, chory, niech leży blisko dyżurki. OK, ale łóżko nr 1 jest zajęte. No to pacjenta z łóżka 1 przeniesiemy do łóżka nr 2. Jest zajęte? Pacjenta z łóżka nr 2 przeniesiemy do łóżka nr 3… i tak ad mortem defecatam, tfu, do nieskończoności.

Skąd wynika różnica? Gdybyśmy tak spróbowali uczynić w rzeczywistym szpitalu (pomijając skargi pacjentów i zagrożenie zdrowotne wynikające z przenoszenia ich), nie moglibyśmy tego zrobić, bo któreś łóżko byłoby tym ostatnim i leżącego na nim pacjenta nie można z niego przenieść dalej. Inaczej mówiąc, żadna liczba naturalna nie jest równa tej samej licznie zwiększonej o 1. Ale też do każdej liczby naturalnej można dodać 1. Tutaj wykonujemy opisaną procedurę – i nowy pacjent przyjęty.

A jeśli przyjedzie kilku pacjentów? Robimy tak samo. Dla n nowych pacjentów przenosimy każdego dotychczasowego pacjenta z łóżka k do łóżka k + n.

To teraz bardziej skomplikowany przykład. Przyjeżdża karetka wioząca nieskończenie wiele pacjentów (powiedzmy: jedli razem obiad i wszyscy się struli; w oryginale autobus przywiózł nieskończoną liczbę turystów). Co zrobić? Potrzebujemy przecież nieskończenie wielu wolnych miejsc, tyle, ile jest w szpitalu wszystkich miejsc! No dobra, pacjenta z łóżka 1 przenosimy do łóżka 2, pacjenta z łóżka 2 do łóżka 4 itd. (problemy praktyczne, nieznane matematykom, takie jak to, czy pacjent z pediatrii trafi na ginekologię, pomijamy. Ech, może trzeba było zostać przy hotelu, zamiast silić się na oryginalność?). Każdy „stary” pacjent ma swoje łóżko. Zwolniło się sporo. Pacjenta nowego nr 1 kładziemy na łóżku 1, nowego nr 2 na łóżku nr 3, nowego nr 3 na łóżku 5 itd. Czy dla każdego znajdzie się łóżko? Znajdzie. Położyliśmy wszystkich.

To teraz prawdziwa epidemia. Przyjeżdża nieskończenie wiele karetek, z których każda wiezie nieskończenie wielu pacjentów (w oryginale z autobusami brzmiało to tylko trochę mniej absurdalnie). Czy można położyć ich w tym szpitalu? Czytelnik domyśla się już zapewne, że można. Ale jak?

Weźmy liczby pierwsze, czyli mające dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie. Jest ich nieskończenie wiele. Dowód jest dość prosty. Załóżmy nie wprost, że nie jest ich nieskończenie wiele. Mamy więc skończony zbiór zawierający wszystkie liczby pierwsze. Pomnóżmy je wszystkie przez siebie i dodajmy 1. Otrzymana liczba jest większa od każdej liczby z naszego zbioru, więc do niego nie należy. Wobec tego nie jest liczbą pierwszą. Jednak nie dzieli się przez żadną liczbę pierwszą (reszta z dzielenia wynosi 1). Mamy sprzeczność. A więc liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Tak więc każdej karetce (i pacjentom zawczasu będącym w szpitalu) przyporządkowujemy kolejne liczby pierwsze. Kolejnych pacjentów z karetki p1 przyporządkowujemy do łóżek p1, p1*p1=p1^2, p1*p1*p1=p1^3… Działa? Działa.

Dziwne. Ale takie są własności liczb nieskończonych. Bardziej formalnie możemy zastanowić się, kiedy dwa zbiory nieskończone są równoliczne (mają tyle samo elementów) – nie jest to oczywiste, ale zbiory nieskończone mogą mieć różną liczbę elementów (o tym innym razem). Jest taki sposób stwierdzania równoliczności odwołujący się do pewnego porównania. Jeśli mamy przed sobą dzieci w przedszkolu i chcemy wiedzieć, czy chłopców i dziewczynek jest tyle samo, nie musimy ich liczyć. Niech chłopcy i dziewczynki parami wezmą się za ręce. Jeśli nie zostaną dzieci żadnej z płci bez pary, to znaczy, że chłopców i dziewczynek jest tyle samo. (Jeśli pozostaną – może tej płci jest więcej, a może dzieci po prostu nas nie słuchają).

To teraz to samo na zbiorach: jeśli istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru A na B i z B na A (a więc każdemu elementowi zbioru A przyporządkować możemy jeden element zbioru B i odwrotnie), to zbiory są równoliczne. Poszukajmy takich funkcji dla opisanych wyżej zmian numerów łóżek pacjentów w szpitalu. W naszym pierwszym przypadku f(n) = n + 1. W kolejnym f(n) = 2 * n (i dla pacjentów z karetki f(m) = 2 * m – 1). W ostatnim dla pacjenta n z karetki p mamy f(n,p) = p^n.

A więc szpital mamy naprawdę pojemny, nie byłoby kolejek (pacjenci by się cieszyli, NFZ już mniej, bo musiałby za to płacić). Ale wspominałem wyżej, że istnieją mniejsze i większe zbiory nieskończone. Omawiany przez nas jest akurat najmniejszy. Zbiorem liczniejszym od niego jest choćby zbiór liczb rzeczywistych, nie da się go upakować do naszych łóżek.

Ilustracja: Szpital. Zdjęcie wykonane przez autora.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 9

Dodaj komentarz »
  1. Z nieskończonościami sprawa jest niejasna. Zupełnie inny dowód (nie funkcyjny) pokazuje że nieskończoność jest tylko jedna. Co jak się zastanowić głębiej, ma jednak sens. A że nie potrafimy znaleźć funkcji 1-1 ze zbioru liczb rzeczywistych na zbiór liczb naturalnych? No cóż. Może liczb prawdziwie „rzeczywistych” nie ma, skoro rzeczywistość jest kwantowa.

    https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-measure-infinities-and-find-theyre-equal/

  2. Prawdziwie rzeczywistych? To znaczy jakich? Fakt, że nigdy ich nie lubiłem, ale czyżby nie było liczby pi?

  3. Wydaje mi się, że takie problemy omawiane są właśnie ad mortum… na studiach matematyki i szkoda, że nikt z nich tu nie zbłądził. Jak rozumiem, chodzi tu o mniej i bardziej liczne nieskończoności. Jak wiadomo, liczb rzeczywistych na odcinku 0-1 jest równie nieskończenie wiele jak na całej osi liczb. I na dodatek są gęste, czyli nawet odcinka nie można przeciąć czystym cięciem bez ubrudzenia się.
    Wynika z tego raczej, że cały paradoks polega na użyciu pojęć z praktyki czyli świata liczb skończonych na świat, do którego się te pojęcia nie stosują. Liczby już sobie ze sobą poradzą i nie mają problemów z tym, która jest mniejsza a która większa albo których jest więcej. A przynajmniej nic o tym nie mówią. To tylko człowiek do nich nie pasuje.

    Ciekawe jest raczej pytanie, jakie są wnioski praktyczne z tej różnoliczności zbiorów nieskończonych. Praktyczne i dla nas i dla samej matematyki. Choć to temat frapujący ja mam niestety inne zajęcia. A szkoda.

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. W takim hotelu/szpitalu pracuje jedna sprzątaczka. Radzi sobie w następujący sposób:
    Kiedy ma wysprzątać łóżko nr 1 i jego otoczenie, każe przenieść się pacjentowi z tego łóżka na łóżko z numerem wyższym, czyli na nr 2. Oczywiście, w tym celu pacjent z łóżka 2 musie przenieść się na nr 3, ten z 3 na 4 itd. Trochę fatygi, ale daje się zrobić.
    Łóżko nr 1 sprzątaczka sprząta bardzo starannie, zajmuje jej to pół godziny. Po ukończeniu tej pracy, zabiera się za łóżko nr 2. Znów pacjenci są zmuszeni do przesunięcia się na łóżko z numerem o 1 wyższym. Żaden pacjent nie wraca do łóżka 1, pozostaje ono puste (może w oczekiwaniu na kolejną karetkę?). Drugie łóżko sprzątaczka porządkuje już mniej starannie, zajmuje jej to tylko 15 minut. Też po zakończeniu porządków pozostaje ono puste. Przy kolejnym łóżku historia się powtarza, ale sprzątaczka, nieco zmęczona, porządkuje je już w 7,5 minuty. Następne w 3 minuty i 45 sekund i tak każde kolejne dwa razy szybciej niż poprzednie.
    Po równej godzinie wszystkie łóżka są wysprzątane. I puste!
    Zagadka: gdzie podziała się nieskończona liczba pacjentów? Jak ich z powrotem ściągnąć do szpitala?

  6. I żadnych założeń co do przeliczalności tych naszych nieskończoności nie trzeba robić? Pytam się, bo z licealnych czasów niewiele mi w głowie zostało. Poza resztkami intuicji… 😉

  7. Są przeliczane. To małe nieskończoności

  8. Z tymi nieskończonymi karetkami nie ta prędko. W hotelu Hilberta, bo tak się nazywał jego słynny budowniczy, można umieścić nieskończoną (acz policzalną) liczbę karetek/autobusów wypełnionych nieskończoną (acz policzalną) liczbą gości. Ale nie możemy tego zrobić tak, jak opisał autor. Jeśli mamy dwie karetki odpowiadające liczbom pierwszym p1 i p2, to pacjent p2 z karetki p1 (wg opisu autora powyżej) spotka się (pobije) z pacjentem p1 z karetki p2 w pokoju p1*p2 = p2*p1.

    Trzeba to zrobić chytrzej. Dla każdego k pacjenta z pokoju k przenosimy do pokoju 2*k. A pacjentów z karetki o numerze i (i =1, 2, ….) umieszczamy w pokojach o numerach pi^n dla n = 1, 2, … . Przy czym nie wykorzystujemy liczby pierwszej 2. Dopiero wtedy się różni pacjenci nie mają szans spotkać się w tym samym pokoju.

  9. @KStencel
    Święta prawda. Tak miało być 🙂 p1^n. A dlaczego jednak nie wykorzystujemy liczby 2?

  10. Poprawione

css.php