Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców

27.02.2010
sobota

O marynarzach i sprawiedliwości

27 lutego 2010, sobota,

Rozmawiałem niedawno z licealistami z Bednarskiej na temat różnych gier. W ramach jednej z dygresji na moment zajęliśmy się znaną grą w marynarza: kilkoro dzieci stoi w kółku, na „trzy – cztery” każde pokazuje rękę z wystawioną pewną liczbą palców. Wszystkie palce dodajemy, odliczamy w kółko, na kogo wypadnie na tego bęc!


Lekko zaszokowało nas odkrycie, że ta gra bywa niesprawiedliwa. Graliśmy w nią tyle razy jako maluchy, a nigdy tego nie dostrzegliśmy. A tymczasem to takie proste: dwie osoby, jedna dłoń, wolno wystawić od jednego do pięciu palców. Razem jest więc 5*5=25 równie prawdopodobnych układów, spośród których z konieczności jednemu z graczy przypada 13, a drugiemu 12.

Młodzież ma zamiar opisać to na Facebooku, a ja wolę „Politykę” (zacząłem ją czytać jak miałem tyle lat, co oni teraz – ciekawe czy Facebook będzie jeszcze istniał, gdy to oni będą w moim wieku).

Po chwili przyszło mi do głowy, że przecież gracze nie muszą wystawiać palców na chybił-trafił, tylko mogą się przedtem zastanowić. Przy dwóch graczach, każdemu z nich jest obojętne, czy wystawi 2 palce czy 4, tak samo bez różnicy są 1, 3 i 5. Po prostu zwiększenie bądź zmniejszenie sumy o wielokrotność 2 nie zmienia wcale wyniku, bo powoduje tylko dodatkowe pełne obiegi kółka, ale wybraniec na koniec jest i tak ten sam. W sumie identyczny efekt można mieć wystawiając tylko albo 1 albo 2 palce. Jak obaj tak policzą i zdecydują, gra będzie miała już tylko 4 możliwe przebiegi i będzie sprawiedliwa. Sprawiedliwość wraca do niej, bo przedtem wybory graczy nie były symetryczne: nieparzystą ilość palców można było wystawić na 3 sposoby, a parzystą tylko na 2. Teraz jest po równo.

A co będzie, gdy jest więcej graczy, pozwolimy wystawiać 0 palców, itp.? Już wiemy, że żeby sprawiedliwość była w ogóle możliwa, liczba różnych układów wystawionych palców przez wszystkich graczy musi dzielić się bez reszty przez ich liczbę. Ale są też inne zagrożenia. Jak wszyscy wystawią 0 palców, to kto zostanie wybrany? Chyba trzeba więc pokazywania zera zabronić. Albo jak 4 graczy wystawia tylko 1 lub 2 palce – możliwości jest 2*2*2*2=16, które dzieli się bez reszty przez 4, ale sprawiedliwości nie ma, bo ostatni w rzędzie ma dla siebie tylko dwie szanse (cztery jedynki i cztery dwójki), a przy równym podziale należałyby mu się cztery.

Po dalszych badaniach ustaliłem, że sprawiedliwość jest tylko wtedy, kiedy k graczy gra wystawiając od jednego do k palców. Dla małych k można też używać całkowitych wielokrotności k, późnej ręce okazują się za małe. Gdy zaczyna się liczyć „od nieba” , zgodnie z uświęconym dziecięcym obyczajem, nic się nie zmienia. Wariantom sprawiedliwym to nie szkodzi, a niesprawiedliwym nie pomaga.

Mimo, że nie ukończyłem jeszcze badań, śpieszę donieść o moich dotychczasowych ustaleniach szanownym Czytelnikom, bo a nuż mają dzieci, które trzeba jak najszybciej wyedukować, aby mogły odtąd grać w marynarza bez niczyjej krzywdy.

Jerzy Tyszkiewicz
Ilustracja Alicja Leszyńska

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 11

Dodaj komentarz »
  1. myślę, ze w wersji dla dwóch graczy gra wcale nie jest niesprawiedliwa. byłoby tak, gdyby gracze byli zobligowani do losowania spośród pięciu liczb, ale tak naprawdę mogą pokazać tyle palców, ile chcą, więc de facto decydują, czy podają parzystą, czy nieparzystą liczbę – to na ile sposobów mogą podać taką, czy taką ma znaczenie drugorzędne, wobec czego dla racjonalnych graczy gra jest całkowicie symetryczna. dla trzech graczy też jest sprawiedliwie: (o ile się nie machnąłem w obliczeniach) niezależnie od tego czy pozostali gracze wybierają liczby od 1 do 3, czy od 1 do 5, suma u nich daje wszystkie reszty z dzielenia z jednakowym prawdopodobieństwem, wobec czego gracz racjonalny (nie losujący od 1 do 5, tylko od 1 do 3, ewentualnie czasami dla niepoznaki zmieniający 2 na 5 i 1 na 4) wygrywa z takim samym prawdopodobieństwem, niezależnie od tego od kogo zaczyna się wyliczanka. 😉

  2. hm, chyba jednak się gdzieś pomyliłem w obliczeniach dla trzech graczy. tak czy inaczej racjonalny gracz może tak wpłynąć (w wypadku dla trzech graczy), żeby prawdopodobieństwo było jednakowe. tzn. gracz 1. wybiera 2 lub 3, 2. 3 lub 2, 3. 1 lub 2. co ciekawe, jeśli gracz 2 załóży, że gracz 1 i 2 tak właśnie się zachowają, to sytuacja się zmienia – najbardziej opłaca mu się wybrać 2 lub 3. tak czy inaczej tak długo jak liczba palców jest nie mniejsza niż liczba graczy, gra jest symetryczna z prostego powodu, że niezależnie od tego, jakie są prawdopodobieństwa poszczególnych sum (modulo liczba graczy) wśród pozostałych, każdy gracz może postawić na tę najbardziej prawdopodobną.

  3. Wierze na slowo, bo oczywicie w mig pogubilem sie w liczbie palcow, mozliwosci i sprawiedliwosci. 🙂

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Generalnie to nie ma sprawiedliwosci na tym swiecie…

  6. Gra w ”marynarza” będzie sprawiedliwa jeżeli najpierw zagramy w marynarza aby ustalić od kogo zaczniemy odliczać a jeżeli liczba graczy jest większa od 2 to trzeba zagrać w marynarza o to czy będziemy odliczać zgodnie z ruchem wskazówek zegara czy przeciwnie.

  7. A co jeśli odliczanie zaczynamy za każdym razem od innej osoby? Poza tym nie należy zapominać, że umysł ludzki ponoć nie jest najlepszym generatorem liczb losowych i bardzo szybko pojawia sie w grze strategia, więc model losowy ma chyba ograniczone zastosowanie?

    Nb. własnie skończyłem książkę „Matematyka niepewności”, właśnie o pułapkach prawdopodobieństwa. Książki o matematyckie nieczęsto są wciągające, ta jednak napisana jest przez matematyka, który przy okazji jest scenarzystą Hollywood, więc czyta się nieźle.

  8. A ja wiem dlaczego i kiedy szanse są równe. Wiem też, że przy znanych mi warunkach na równe szanse nie ma żadnej lepszej ani gorszej strategii dla jednego gracza.

  9. @pq

    Brawo!

  10. Cieszę się, że Pan jeszcze tu zagląda. Jak się mają Pańskie badania? Spotkał się Pan może z jakąś publikacją podejmującą ten temat? Mam problemy ze znalezieniem takowej, a zamierzam pisać pracę licencjacką o grze w marynarza. Wolałbym uniknąć sytuacji, gdzie podaję pewne dowody i twierdzenia jako swoje, a ktoś już na nie wpadł. A wydaje mi się, że na pewno ktoś wpadł.

    Pozdrawiam

  11. Nie, nie badam już gry w marynarza.

    To, co wtedy napisałem wynikało z moich własnych obliczeń, nigdy nie widziałem żadnej publikacji na ten temat. Tylko jak przez mgłę pamiętam, że chyba ktoś mi mówił, że w „Delcie” kiedyś był o niej artykuł. Ale to mi się mogło poplątać z jakimś innym tematem.

  12. Niestety nie dotarła do mnie ta Delta, którą mi Pan wysłał, ale tak czy owak praca została napisana: https://drive.google.com/folderview?id=0B4_zL3Fb5Co7LURSQjg1ckQ4YWM&usp=sharing

css.php