Kto źle pyta, ten błądzi

14 marca 2024
Blog szalonych naukowców

W mediach często pojawiają się kierowane do ekspertów pytania typu: kto wygrywa wojnę w Ukrainie, kto wygrał wybory, czy szczepionki są bezpieczne, nie mówiąc już o trwającej od lat debacie na temat aborcji. Publiczność domaga się odpowiedzi, najlepiej prostych: tak/nie. A jeśli odpowiedzi nie ma?

Z logicznego punktu widzenia wydawałoby się, że nie ma nic łatwiejszego, niż orzec daną rzecz (predykat) o jakiejś innej rzeczy. To proste założenie. Doprowadziło jednak do upadku naiwnej teorii zbiorów Cantora.

Żyjący ponad wiek temu wybitny matematyk należał do tej niewielkiej grupy uczonych, którzy zapoczątkowali nową dziedzinę badań, w jego przypadku teorię zbiorów. I niepowodzenia w tej dziedzinie przypłacił poważnymi problemami ze zdrowiem psychicznym. Dużą część życia spędził w ośrodkach opiekuńczych; jako majętny człowiek mógł wybrać te, które rzeczywiście opiekowały się pacjentami, a nie tylko ich izolowały, co w psychiatrii sprzed stu lat wcale nie było takie oczywiste.

Nie ulega najmniejszej wątpliwości, że mając dowolny zbiór, nazwijmy go X, możemy stworzyć odpowiadający mu predykat A, czyli cechę przysługującą wszystkim elementom tego zbioru. Wygląda to banalnie: wystarczy przyjąć A(x) wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do X (tzn. wybraliśmy cechę samej przynależności do X).

Dzisiaj wiemy, że w drugą stronę to nie działa. Nie dla każdej własności A istnieje zbiór elementów, które tę własność posiadają. Tego jeszcze Cantor nie wiedział, przynajmniej na początku.

Podam przykład. Stwórzmy predykat „jest zbiorem”. Następnie utwórzmy zbiór Z wszystkich tych obiektów, którym on przysługuje, tzn. zbiór wszystkich zbiorów. Matematycy dowiedli dawno, że taki zbiór nie istnieje. Dlaczego?

Gdyby istniał, miałby pewną określoną liczbę elementów. Przyjmijmy teraz dwie przesłanki. Po pierwsze, żaden zbiór nie może mieć mniej elementów niż dowolny jego podzbiór. Po drugie dowiedziono, że dla każdego zbioru można stworzyć zbiór potęgowy, czyli zbiór wszystkich podzbiorów tego zbioru. Nazwę „potęgowy” skojarzyć można z tym, że jego liczba elementów równa jest 2 do potęgi liczba elementów wyjściowego zbioru, ponieważ każdy z tych elementów może należeć lub nie należeć do tego czy innego podzbioru. Zawsze wynosi ona więcej od liczności wyjściowego zbioru. Zbiór potęgowy zbioru wszystkich zbiorów zawierałby z definicji pewne zbiory (każdy podzbiór jest zbiorem), które należałyby do zbioru wszystkich zbiorów. W rezultacie zbiór potęgowany zbioru wszystkich zbiorów byłby podzbiorem zbioru wszystkich zbiorów. Musiałby zarazem być od niego liczniejszy (jako zbiór potęgowy) i nie mógłby być od niego liczniejszy (jako podzbiór). Ta sprzeczność dowodzi, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje.

Inną cechą, której nie odpowiada żaden zbiór, jest „nie być własnym elementem”. Zazwyczaj nie chcemy, żeby zbiór był własnym elementem, bo to wprowadza różnorakie trudności. Stwórzmy więc zbiór wszystkich porządnych zbiorów, tzn. takich, które nie są swoimi elementami. No dobrze, ale zastanówmy się teraz, czy otrzymany w ten sposób zbiór jest, czy nie jest swoim elementem. Jeśli nie jest, czyli nie należy do zbiorów niebędących własnymi elementami, to jest własnym elementem? A jeśli jest własnym elementem, to jest elementem zbioru elementów niebędących swoimi elementami, więc nie jest własnym elementem. Znowu sprzeczność.

W matematyce podobnych sprzeczności można uniknąć, wprowadzając ściśle początkowe przesłanki (aksjomaty), z których wyprowadza się całą resztę. Niemniej jak dowiódł inny wielki matematyk Kurt Godel, każdy system aksjomatów obejmujący przynajmniej podstawową arytmetykę jest albo niezupełny (tzn. nie można z niego wyprowadzić wszystkich twierdzeń, pozostają więc twierdzenia niedowodliwe), albo sprzeczny.

Problem nasila się jeszcze bardziej w innych naukach i w mowie potocznej. Zazwyczaj bowiem nie tworzymy pojęć przez ścisłe definicje, ale przez tzw. prototypy. Sztandarowym przykładem jest jabłko, dzięki któremu dziecko uczy się pojęcia owocu. Jeżeli coś jest podobne do jabłka, jest owocem. Jeżeli nie przypomina jabłka, owocem nie jest. Tak więc pomidor z botanicznego punktu widzenia będący ewidentnie owocem nie jest przez większość z nas uznawany za owoc, ponieważ w dzieciństwie nie kojarzył nam się z jabłkiem. Jak widzimy, pojęcie owocu rozszerzamy właściwie poprzez rozumowanie per analogiam, dosyć zawodne, dlatego różne osoby mogą postrzegać jako owoce różne klasy obiektów. Jeszcze bardziej nieostre mogą być pojęcia takie jak czerwony, bezpieczny, osoba czy też wygrać wojnę bądź wybory.

Kolejny raz przekonujemy się, że stare przysłowie „kto pyta, nie błądzi” samo wprowadza w błąd. Na wiele pytań po prostu nie ma sensownej odpowiedzi.

Marcin Nowak