Które równanie można rozwiązać?

27 listopada 2020
Blog szalonych naukowców

Zastanawiałem się, czy w ogóle ten temat poruszać. Podejmowanie na popularnonaukowym blogu zagadnień z drugiej połowy studiów matematycznych może się wydawać szalone. Ale nie bardziej niż Szpital Narodowy przyjmujący z założenia ludzi zdrowych czy walka z pandemią za pomocą flag. Spróbujmy więc zagłębić się w nieziemsko trudny problem rozwiązywalności równań.

Rozwiązywaliśmy w szkole równania wielomianowe, czyli takie, w których pytają o pierwiastki jakiegoś wielomianu. Ten ostatni to suma wyrażeń typu coś razy x do którejś potęgi (jednomianów), a jego pierwiastki to liczby, po podstawieniu których do wielomianu otrzymuje się wartość 0.

Najprostszy przykład: równanie pierwszego stopnia typu ax + b = 0. Jak wyliczyć x? Z wzoru -b/a. Podstawmy do wielomianu po lewej stronie równania, a otrzymamy 0. W liceum rozwiązuje się też równania drugiego stopnia, czyli kwadratowe. Jak rozwiązać ax2 + bx + c = 0? Liczymy deltę równą b2 – 4ac. Dwa rozwiązania wyrażają się przez – b dodać lub odjąć pierwiastek z delty i to wszystko podzielić przez 2a. Proste? Proste, wystarczy podstawić do wzoru. Podobne, ale znacznie bardziej rozbudowane wzory pozwalają wyliczyć pierwiastki równania trzeciego stopnia (a razy x do trzeciej itd.) i czwartego. Umęczy się człowiek, ale obliczy.

Próbowano wyprowadzić podobne wzory w przypadku równań stopnia piątego. I klops. Dekady mijały, nic nie udało się wyprowadzić. Grubo ponad wiek starań minął, gdy młody francuski matematyk Ewaryst Galois pokazał, dlaczego. Zanim zginął w absurdalnym pojedynku o kobietę, zdążył stworzyć nową dziedzinę matematyki.

Ale najpierw przypomnijmy sobie tekst, w którym wprowadziłem pewne podstawowe pojęcia z teorii grup i ciał. Przydadzą się dzisiaj.

Rozpatrzmy równanie wielomianowe: po lewej stronie znaku równości suma wyrażeń jakieś a razy x do jakiejś potęgi naturalnej, po prawej 0, w którym wszystkie a należą do danego ciała, dla prostoty weźmy ciało liczb wymiernych. Przypominam: ciało = zbiór z czterema podstawowymi działaniami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Może się okazać, że – jak w równaniu stopnia pierwszego – poszukiwany pierwiastek można otrzymać za pomocą czterech podstawowych działań ze współczynników równania. Matematyk powie, że pierwiastek ten należy do tego samego ciała. Weźmy równanie x2 – 2 = 0. Pierwiastkami równania są liczby pierwiastek z 2 i minus pierwiastek z 2. Nie można ich otrzymać przez cztery podstawowe działania z żadnej liczby całkowitej. Pierwiastek równania nie należy do ciała, z którego wzięte są jego współczynniki.

Możemy natomiast dołączyć go do ciała (rozszerzyć ciało). Otrzymane rozszerzenie to ciało, do którego będą się zaliczały wszystkie liczby otrzymywane przez dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb całkowitych i pierwiastka z dwóch. Uczenie mówimy o nim ciało rozkładu wielomianu.

Wprowadźmy teraz kolejne groźnie brzmiące pojęcia. Homomorfizm, zwykle oznaczany φ, oznacza odwzorowanie, które zachowuje wyniki działań. Przykładowo: homomorfizm sumy a + b jest sumą homomorfizmu a + homomorfizmu b: φ(a+b) = φ(a) + φ(b). Przykładem homomorfizmu jest reszta z dzielenia przez 7: suma reszt jest resztą sumy (proszę sprawdzić). Tak samo z mnożeniem. Ponieważ element neutralny dodany do dowolnego elementu zachowuje go, homomorfizmem tego elementu też musi być element neutralny.

Automorfizm to homomorfizm, który nie dość, że wypluwa wyniki z tego samego zbioru, z którego pobiera elementy, to jeszcze działa w obie strony (dzielenie przez 7 już tych własności nie posiada).

Ponieważ dowolny automorfizm ciała liczb wymiernych nie zmienia elementów neutralnych 0 ani 1, to nie zmienia 2 (zachowuje wyniki działań, a 1 + 1 = 2) i żadnej liczby całkowitej. A skoro każdą liczbę wymierną można przedstawić jako iloraz liczb całkowitych, to nie zmienia liczb wymiernych. Dowiedliśmy, że dowolny automorfizm ciała liczb wymiernych jest identycznością (dla każdego wymiernego x mamy φ(x) = x). Bardzo nudne odwzorowanie.

Zastosujmy nasz automorfizm φ do równania x2 – 2 = 0. 0 i 2 się nie zmienią. x nie jest liczbą wymierną, może się zmienić. Ale w ten sposób, że φ(x) podniesione do kwadratu musi dać 2. Mamy więc dwa możliwe automorfizmy: ten niezmieniający absolutnie nic i ten zmieniający znak przy pierwiastku z dwóch (bo – pierwiastek z 2 też spełnia równanie). Ta sama sztuczka działa dla każdego równania wielomianowego: automorfizm przekształca jego pierwiastki niewymierne w inne jego pierwiastki niewymierne.

I tutaj właśnie uwidacznia się geniusz Galois. Weźmy zbiór automorfizmów danego ciała rozkładu wielomianu. Możemy wziąć dowolny element, od niego automorfizm φ1, a potem od wyniku automorfizm φ2. Możemy wziąć tyle automorfizmów, ile nam się podoba, i je złożyć. Mamy więc pewne działanie przypominające dodawanie. Jest ono łączne jak zwykłe dodawanie, istnieje element neutralny (automorfizm identycznościowy), a każdy automorfizm ma automorfizm doń odwrotny. Zbiór ten tworzy grupę.

Galois zauważył, że zamiast rozpatrywać wielkie i trudne ciała, wystarczy rozpatrywać grupy ich automorfizmów, nazywane jego nazwiskiem. Każdy element takiej grupy odpowiada po prostu zmianie kolejności pierwiastków równania. Dokładnie tak, jakbyśmy zmieniali kolejność elementów w dowolnym innym ciągu o tej samej liczbie elementów. Wobec tego liczność grupy odpowiada liczbie możliwych kombinacji. Jest to liczba skończona i zwykle niezbyt duża.

Młody geniusz na tym nie poprzestał. Podał, kiedy istnieje wzór na pierwiastki wielomianu. Otóż grupa musi mieć pewne charakterystyczne cechy (być rozwiązalna). Mianowicie musi istnieć ciąg coraz mniejszych grup (podgrup) od naszej pierwotnej grupy Galois aż do grupy jednoelementowej. Każda kolejna musi być dzielnikiem normalnym pierwszej (czyli dla dowolnych elementów g z większej grupy i h z mniejszej, jeśli weźmiemy g, dodamy h i odejmiemy to g, to wynik musi dalej należeć do podgrupy). Kolejny warunek jest jeszcze trudniejszy. Skoro coś jest dzielnikiem, to można przez to dzielić. Jeśli podzielimy grupę przez jej dzielnik normalny, otrzymamy inną grupę (np. grupę liczb całkowitych z dodawaniem dzielimy przez grupę liczb podzielnych przez 7 i otrzymujemy grupę zawierającą reszty z dzielenia przez 7). Otrzymana tzw. grupa ilorazowa musi być przemienna.

Wtedy każdy pierwiastek równania należy do tzw. rozszerzenia pierwiastnikowego, którego każdy element można wyrazić przez elementy wyjściowego ciała, cztery zwykłe działania i pierwiastkowanie. A więc istnieje wzór na dany pierwiastek równania. Okazuje się, że grupa opisująca tasowanie dwóch, trzech, czterech elementów jest z konieczności rozwiązalna. Grupa mieszająca pięć elementów – już nie.

Straszne? Być może. Ale i na swój sposób piękne. Mam nadzieję, że Państwo też to piękno zobaczą. W przeciwnym razie mogłoby się okazać, że to jednak moje szaleństwo… Nawet jeśli – to przynajmniej nie wydałem 70 mln na…

Marcin Nowak

Ilustracja: portret Ewarysta Galois, autor nieznany, ok. 1865, za Wikimedia Commons.

PS Uprzedzając pytania i komentarze – tak, tekst omawia zagadnienie w ogromnym uproszczeniu.