Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców

9.03.2011
środa

Paradoks kruków

9 marca 2011, środa,

Paradoks kruków sformułował w latach czterdziestych poprzedniego stulecia Carl Hempel, stąd też nazywany jest paradoksem Hempla. By go przedstawić, zacząć trzeba od kontekstu, czyli poglądu członków Koła Wiedeńskiego na naukę. Generalnie rzecz biorąc, członkom tego ugrupowania przypisywany jest pogląd, według którego punktem oparcia dla pracy naukowej są fakty. A te mogą być tylko albo prawdziwe, albo fałszywe. Nauka w sposób istotny różni się przy tym od filozofii, a w szczególności najgorszej jej części, czyli metafizyki. Oto twierdzenia naukowe dają się potwierdzić, ponieważ mają oparcie w faktach. Inaczej jest z tezami metafizyki. Nie mają one oparcia w faktach, a wobec tego nie mogą być ani potwierdzone, ani obalone; nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Z racji tego są one bez sensu.

Paradoks kruków sformułowany przez Hempla, krótko po tym jak Koło przestało istnieć, pokazywał jednak, że sprawa potwierdzenia teorii naukowej przez fakty empiryczne wcale nie jest tak prosta, jak wydaje się być. Oto przypuśćmy, że ktoś głosi twierdzenie: „wszystkie kruki są czarne”. Oczywiste jest, że każda obserwacja czarnego ptaka, który okazuje się być krukiem, potwierdza to twierdzenie. Podobnie, gdyby udało się zaobserwować zielonego ptaka, który jest krukiem – taka obserwacja tezę wyjściową by obaliła. Zarówno w jednym, jak i drugim przypadku teza okazała by się naukową, ponieważ fakty ją albo potwierdzają, albo obalają.

Problem zaczyna się, gdy na przykład na spacerze widzimy zielonego ptaka. Najpierw nie jesteśmy pewni, czy to jest jakiś inny ptak czy może kruk. Po pewnym czasie dochodzimy jednak do wniosku, że nie jest on krukiem. Hempel był człowiekiem dociekliwym i właśnie taka sytuacja go zastanowiła. Czy obserwacja jakiegoś ptaka (na przykład zielonego), który okazuje się nie być krukiem, w jakiś sposób potwierdza zdanie „wszystkie kruki są czarne”?

W rozumowaniu swoim Hempel przyjął dodatkowe założenie, że zdania równoważne logicznie, posiadają takie same zbiory potwierdzeń. Zauważył on, że zdanie „wszystkie kruki są czarne” zgodnie z prawami rachunku nazw Arystotelesa (prawem kontrapozycji) jest równoważne zdaniu „wszystkie przedmioty nie-czarne są nie-krukami”. W efekcie obserwacja każdego przedmiotu, który jednocześnie nie jest czarny i nie jest krukiem (na przykład białej chmury), potwierdza naszą wyjściową tezę, że wszystkie kruki są czarne.

Potocznie wydaje się, że obserwacja białej chmury za oknem nie ma żadnego związku z kwestią czy kruki są czarne czy nie są. Tymczasem paradoks Hempla pokazuje, że taki związek zachodzi. Za każdym razem, gdy widzę białą chmurę, żółty ser, zachodzące na czerwono Słońce, i każdy przedmiot nie-czarny, potwierdzam jednocześnie tezę, że wszystkie kruki są czarne. Dzieje się tak, ponieważ potwierdzam prawdziwość zdania „wszystkie przedmioty nie-czarne są nie-krukami”, które jest logicznym równoważnikiem tezy „wszystkie kruki są czarne”.

Trudno się zgodzić z taką konsekwencją tego paradoksu, że obserwacja białej chmury potwierdza jednocześnie, że wszystkie kruki są czarne. Kruka i chmurę w zasadzie nic nie łączy. Skoro tak jest, to znaczy, że w przypadku potwierdzania jakiegoś twierdzenia przez fakty w grę wchodzą jakieś inne, dodatkowe założenia, przez co proces ten nie wygląda tak prosto, jak sądzili członkowie Koła.

Paradoks kruków pokazuje, że obok faktów trzeba też wziąć pod uwagę jakieś inne reguły. Dopiero te dwa czynniki łącznie służą za podstawę potwierdzenia lub obalenia twierdzeń naukowych. Osłabiało to wyjściową tezę członków Koła, że twierdzenia nauki mają oparcie tylko w faktach, ponieważ wprowadzało do całego procesu czynniki nieempiryczne.

Grzegorz Pacewicz

Fot. Tom Clifton, Flickr (CC BY-NC 2.0)

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 60

Dodaj komentarz »
  1. Wszystko bierze się stąd, że niekruków jest więcej niż kruków. Prawie wszystko jest niekrukiem. Z zajęć z matematyki pamiętam nie za wiele, ale pamiętam – o tyle, o ile – właśnie definicję „prawie wszystkiego”. 😉

  2. Ha, nauki empiryczne (jak to dziś wiadomo) opierają się na statystyce i rachunku prawdopodobieństwa, a stwierdzenie wszystkie kruki są czarne rozumie się generalnie jako tezę

    Pr(obiekt jest czarny | obiekt jest krukiem) = 1.

    Po polsku: prawdopodobieństwo, że wylosowany obiekt jest czarny, pod warunkiem, że jest on krukiem, wynosi 1.

    To prawdopodobieństwo wyznacza się metodami statystycznymi poprzez obeserwacje bardzo wielu obiektów, a definicja prawdopodobieństwa warunkowego powoduje, że obiekty nie będące krukami nie mają wpływu na oszacowaną wartość prawdopodobieństwa. Ceną jest to, że tezę wszystkie kruki są czarne można stwierdzić tylko z pewnym bardzo małym, ale nieusuwalnym marginesem błędu.

    Przy okazji, fraza warunkowa obiekt jest czarny, pod warunkiem, że jest on krukiem w teorii prawdopodobieństwa jest interpretowana w logice trójwartościowej, a nie klasycznej dwuwartościowej. Akurat prawo kontrapozycji jest specyficzne dla logiki klasycznej, zatem ostatecznie paradoks Hempla ma swoje źródło w logice.

  3. @J.Ty,

    A czy logika trójwartościowa nie jest szczególnym przypadkiem dwuwartościowej?

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. „Nauka w sposób istotny różni się przy tym od filozofii, a w szczególności najgorszej jej części, czyli metafizyki.”

    Powstania Koła Wiedeńskiego nie pamiętają już najstarsi górale, a wciąż u nas budzi wielkie emocje. Można by w końcu przejść nad pewnymi prowokacyjnymi stwierdzeniami do porządku dziennego. Get over it boys.

    Od tamtych czasów sporo się zmieniło w nauce i w filozofii. Kilka problemów empiryzmu już od tamtego czasu rozwiązano, pojawiły się nowe.

    „proces ten nie wygląda tak prosto, jak sądzili członkowie Koła”

    Czasem trudno w tym szkolnym rozumieniu rozpoznać poglądy członków Koła. Neurath, Wittgenstein, Godel… nie mieli przecież jednej odpowiedzi na wszystko, a ich stanowiska cały czas się zmieniały. Koło tworzyło raczej pewne ramy heurystyczne, a nie doktrynę filozoficzną.

    A sam paradoks nie wydaje mi się specjalnie paradoksalny. Nawet nauki fizyczne nie pretendują do matematycznej 100% pewności. Nie stosuje się przecież dużego kwantyfikatora logicznego. W przykładzie z krukiem dopuszczalibyśmy możliwość wystąpienia mutacji, która zmieni kolor upierzenia. Gdybyśmy natomiast znaleźli populację zielonych kruków odtrąbilibyśmy zapewne odkrycie nowego gatunku kruka.

    Powiedzmy, że wzrost dorosłego homosapiensa jest większy niż 1,5m, ale zawsze ktoś znajdzie osobnika z deficytem hormonu wzrostu. Znajdujemy jednak populację takich osobników i już możemy się tłuc czy to nowy gatunek homo czy nie.

  6. A co to jest fakt?

  7. @sceptyk,

    Ten prosty sposób rozumowania przedstawiony na początku jest tak często powtarzany – także w komentarzach tutaj na blogu – że wyciągam z tego wniosek, że nie jest to sprawa przebrzmiała.

    Zarzut co do poglądów poszczególnych członków Koła jest oczywiście trafny – ale nie chciałem się tutaj nad tym rozwodzić. Stąd też formuła „przypisywany jest pogląd…”

    @fizykomaniak

    Pozostawiam sprawę otwartą. Trochę o faktach można poczytać tutaj: http://plato.stanford.edu/entries/facts/

  8. Trudno pozostawiać ją otwartą, gdy się pisze:
    „Nauka w sposób istotny różni się przy tym od filozofii, a w szczególności najgorszej jej części, czyli metafizyki. ”

    Albowiem dla mnie ta różniąca sie w sposób istotny od metafizyki nauka(bez ironii) jednocześnie w sobie (w swych teoriach) zawiera olbrzymi ładunek …metafizyki.
    Bo w końcu to nie fakty są prawdziwe lub fałszywe ,lecz sądy o czymś tam, mają taką ,czy siaką wartość logiczną.I kiedy o tym zaczniemy rozmawiać to opuszczamy rewiry nauki a włazimy z kopytami w …metafizkę.
    Ale może się mylę.

  9. @GP
    W klasycznym metajęzyku można mówić o logice trójwartościowej.

    Natomiast w logice klasycznej już nie. To jest prosty rachunek:

    A) jest 2^4=16 możliwych spójników dwuargumentowych w logice klasycznej
    B) w trójwartościowej jest ich 3^9=19683, czyli ponad tysiąc razy więcej.

    Zatem jak byś nie imitował trójwartościowych spójnków dwuwartościowymi, to zawsze będzie tak, że wiele różnych trójwartościowych jest imitowanych jednym i tym samym dwuwartościowym, co wtedy zaciera różnice znaczeniowe między nimi.

  10. @Hoko

    Zatem okazuje się, że

    Pr(obiekt jest czarny | obiekt jest krukiem) < 1,

    przy czym konkretna wartość tego prawdopodobieństwa jest zapewne bardzo bliska 1. To też urok statystyki, bo po obalonych zdaniach typu „Każdy … jest …” nic pożytecznego właściwie nie zostaje.

  11. Jakoś nie mogę wyobrazić sobie metody weryfikacji prawdziwości zdań typu „wszystkie kruki są czarne”. To zdanie jest praktycznie nie weryfikowalne a zatem trochę trudno przypisać mu przymiot prawdziwości. Jest też zdaniem nie do końca precyzyjnym. Powinno być o krukach naturalnie czarnych bowiem jest możliwość zabarwienia ptaka nawet w sposób trwały majstrując w genach.
    Z poważaniem W.

  12. Wojtek,
    zdanie „masa każdego atomu węgla wynosi tyle a tyle” też jest praktycznie nieweryfikowalne, a mimo to nauka z takich zdań korzysta. W zasadzie każde zdanie ogólne, a więc nieodnoszące się do indywidualnego przedmiotu ewentualnie określonego ich zbioru, jest w ten sposób nieweryfikowalne. Tak było, jest i będzie, i nie w tym problem. Problem w naiwności założeń naukowego pozytywizmu, które dzisiaj mają w większości już tylko wartość historyczną, ewentualnie filozoficzną; nauce te założenia nie są do niczego potrzebne. Zdania nauki to nie żadne prawdy ostateczne, ale bieżące paradygmaty – a działalność naukowa polega właśnie na ich zmienianiu 🙂

    J.Ty,
    może nie do końca zrozumiałem, o co z tym prawdopodobieństwem chodzi, ale ja bym powiedział, że jest ono raczej niewielkie – bo przedmiotów czarnych w stosunku do innych znowu tak dużo nie ma. A kruki to w ogóle można sobie darować 🙂

  13. @J.Ty,

    Ok, rozumiem. Z pamięci przytaczałem czyjąś opinię, a teraz nie mam jak tego sprawdzić.

    @fizykomaniak

    Masz raję – wchodzimy w metafizykę. No bo skoro sądy mogą być prawdziwe albo fałszywe, to dzieje się tak tylko gdy mają jakiś związek z faktami, co od razu wrzuca nas do różnych sporów filozoficznych.

  14. @ Hoko
    Zdanie o atomach można wywieść nie z doświadczenia a z doktryny. Każdy atom nie spełniający kryterium masy nie jest atomem węgla. Natomiast do weryfikacji czarności kruków trzeba by oglądnąć wszystkie kruki jakie kiedykolwiek były, są i będą a to nawet w wyobraźni jest nie możliwe. I takie zdanie nie może mieć wartości logicznej. A w nauce takoż funkcjonują zdania prawdziwe lub fałszywe niezależnie od tego jaką teorię opisują.
    Z powazaniwm W.

  15. @Wojtek-1942

    Przecież wystarczy znaleźć jednego nieczarnego by to zdanie obalić, a więc że ma wartość logiczną 0. Zdanie to więc może mieć wartość logiczną.

  16. @GP

    Myślę, że Wojtkowi chodzi o to, że o ile uniwersalne zdania dają się w naukach empirycznych obalać, to nigdy do końca nie są potwierdzone i nie ma możliwości, by zyskały status prawdziwych.

    Ponownie zachwalam statystykę. Używajc jej w każdym momencie mamy możliwośc wypowiadania po prostu prawdziwych zdań, że na podstawie dotąd zgromadzonych danych teza zachodzi z pewnym konkretnym marginesem błędu.

    Wobec przykładu @Hoko (zdjęcie kruka-albinosa), takie zdanie mogłoby wyglądać tak (liczby są wyssane z palca):

    Co najmniej 99,9% kruków jest czarnych, z prawdopodobieństwem co najmniej 95%.

  17. „to nie sztuka zabic kruka,
    ale sztuka dla rycerza
    gola d..a zabic jeza”

  18. @J.Ty.
    No to jest prawda. dodał bym tylko, że można takie zdania formułować mniej kategorycznie np. „Według dotychczasowych obserwacji wszystkie kruki są czarne.” I to bym wolał bowiem statystyka wymaga badań statystycznych i liczenia. Ale mam problem. Czy zdanie może mieć wartość logiczną będąc weryfikowalne i falsyfikowalne czy wystarczy lub?
    Z poważaniem W.

  19. Oczywiscie problem polega na przyjeciu aksjomatu „Wszystkie kruki sa czarne”. Przyjmujac taki aksjomat brniemy w slepy zaulek, ktory do niczego logicznie nie prowadzi, jak wykazalo juz wiele osob przede mna. Zawsze tak sie dzieje, jesli zaczynamy od nieweryfikowalnego aksjomatu.

    Czy to nie czasem Goedel sformulowal teorie o niezupelnosci i niesprzecznosci, z ktorej wynika, ze zadnego aksjomatu w danym systemie nie da sie ani potwierdzic, ani obalic – pochodzacego z tego samego „Kola Wiedenskiego”? Z teorematu Goedla wynika, ze wszystkie logiczne systemy sa wewnetrznie sprzeczne. Stad aksjomatyczne stwierdzenie Hempela, ze „obiekty nie-czarne nie sa krukami” jest nie do obrony w swietle logiki Goedla. To oczywiscie olbrzymi skrot, wiec prosze nie lapac mnie za slowa. Wszyscy, ktorzy znaja Goedla, wiedza o co chodzi.

    Ciekawe, ze nikt tu tego nie podjal do tej pory.

  20. pomijając wszystkie moje poprzednie zastrzezenia powiem jeszcze o paradoksie. Nie dostrzegam paradoksu. W takim sensie jak np. paradoks Achilles i żółw. To co gospodarz napisał to jest raczej ocena rozumowania na zasadzie zdrowego rozsądku a tenże nie jest kategorią logiczną i jest zupełnie indywidualny dla każdego. A problem z czarnym krukiem wydaje mi się być po prostu zagadnieniem z dziedziny prawdopodobieństwa. Przyjmuję, że w zdaniu o krukach jest mowa o ptakach a nie np. o firmie jubilerskiej. Zatem dla uproszczenia pomińmy wszystko i powiedzmy, że każde spostrzeżenie ptaka który nie jest czarny i nie jest krukiem zwwększa prawdopodobieństwo tego, że wszystkie kruki są czarne. To oczywiste, choć oczywistość też nie jest kategorią logiczną. Ale dla podpórki wywodu: wybierając kartę z pełnej talii mam prawdopodobieństwo wybrania tej, którą oczekuję 1:52. W ostatnim kroku pozostają w talii2 karty i prawdopodobieństwo trafienia jest 1:2 zatem z każdym kolejnym ruchem rośnie.
    Z poważaniem W.

  21. Panie i Panowie scholastycy oraz bliscy szaleństwa powagi!

    Prawie wszyscy uważacie, że prawie wszyscy się mylą.
    A po odejściu od komputera udajecie się do antykwariatu (co plecam – spacer pomaga usprawnić chwilowo myślenie), lub zczynacie słuchać co piszczy
    w Allegro. A tu trzeba uwolnić się od myślowych powidoków klikiem w element hipertekstowy:
    http://englishrussia.com/index.php/tag/white-crow/

    Panie i Panowie!
    Zazdroszczę Wam biegłości w rozmowie o monadach! Nie jestem w tym biegły.
    Dla mnie monady są podobne do wind: brak okien i skończona liczba stanów.

    Zalecam stanowczo spacer, a po powrocie więcej staranności w prezentacji własnych myśli.

    Paradoks kruka ma dużo uroku w polszczyźnie.
    Biały kruk na gałęzi trzymający w dziobie czarną perłę!
    A pod drzewem jakiś zazdrosny wieprz!
    Cudo!

  22. @staruszek
    Wedle gustu i upodobań, każdy może bawić się w to w co lubi. Nie musisz narzucać swoich gustów.
    Z powazaniem W.

  23. Gruntowna korekta poprzedniego wpisu:
    @
    Werbalista napisał:
    „Z teorematu Goedla wynika, ze wszystkie logiczne systemy sa wewnetrznie sprzeczne.”

    obawiam się ,że było inaczej:
    w systemie arytmetycznym [lub podlegającym arytmetyzacji] nie można rozstrzygnąć formlnie czy istnieją w nich dwa zdania sprzeczne, nie wychodząc poza system.
    Ale może coś mi sie pokićkało.Nie jestem, ani logikiem ,ani matematykiem.
    P.S.
    Proszę o usunięcie poprzedniego mojego komentarza.

  24. Definicje tworza ostre granice, a rzeczywistosc rozmyte. Mapa jest uproszczonym obrazem terenu, ale jednak obrazem bardzo przydatnym. Gdyby chciano narysowac mape oddajaca wszystkie szczegoly terenu, to po pierwsze nigdy nie ukonczono by takiej mapy, a nawet gdyby to sie udalo, to taka mapa bylaby zupelnie nieprzydatna. Fakty weryfikuja lub falsyfikuja mape, kiedy poslugujac sie nia odnajduje lub tez nie odnajduje w terenie naniesione na nia miejscowosci.
    Faktem jest , ze kruki istnieja i jak dotychczas zaobserwowano tylko czarne. I to jest stwierdzenie naukowe wywiedzione indukcyjnie. Natomiast twierdzenie, ze krasnoludki sa rozowe, jest twierdzeniem metafizycznym, poniewwaz istnienie tych stworkow nie zostalo jak dotad zarejestrowane, a wiec nie jest oparte na faktach.
    Nastepna kwestia: Wszystko co nie jest czarne nie jest krukiem. Mam w zwiaku z tym pytanie: Czy murzyn jest krukiem ?
    Czy przeciwienstwem wielkiego kwantyfikatora: „kazdy” jest inny negatywny wielki kwantyfikator”zaden”, a moze maly „niektory”, albo przez inwersje”tylko” Wiec zamiast powiedziec: Wszystkie kruki sa czarne, moglibysmy powiedziec :Tylko czarne ptaki sa krukami, albo Niektore czarne ptaki sa krukami(bo sa rowniez kosy i czarne bociany). Albo: Zaden nieczarny ptak nie jest krukiem, ale dotyczy to rowniez kosa i czarnego bociana, a nie dotyczy bialego bociana(przepraszam za upierdliwosc)

  25. @ fizykomaniak pisze: 2011-03-12 o godz. 21:14

    Oczywiscie, ze masz racje, a ja z gory przepraszalem za olbrzymie skroty i uogolnienia. Chodzilo mi tylko o to zeby wskazac na Goedla, ktorego dotad nikt nie wspomnial, choc wywodzil sie z tego samego kregu, co Hempel, ale doszedl do zupelnie innych wnioskow. Co istotne, tezy Goedla sprawdzaja sie do dzisiaj, szczegolnie w informatyce. Uwazam to za objaw geniusza, ktorego czysto teoretyczne rozwazanie znalazly zastosowanie w praktyce, po blisko stu latach.

    @ Lewy Polak pisze: 2011-03-13 o godz. 11:26

    Jasne, ze masz racje, ale wydaje mi sie, ze teza Hempla byla taka, ze obserwacja potwierdza aksjomat, ze kazdy kruk jest czarny. Nie chodzi tu o doslownosc, tylko cwiczenie logiczne: jablko jest zielone, wiec nie jest krukiem; kanapa jest brazowa, wiec nie jest krukiem, itd. Wiadomo, ze nie wszystkie czarne obiekty sa krukami, ale jednoczesnie potoczna obserwacja wskazuje, ze wszystko, co nie jest czarne nie jest tez krukiem. I nie chodzi tu nawet o prawdziwosc stwierdzenia, tylko o proces myslowy i logiczny, ktory kaze nam logicznie odrzucic stwierdzenie, ze cos co nie jest czarne – jest krukiem. Pisalem o Goedlu, a fizykomaniak byl tak mily, ze uzupelnil moj wpis. Wedlug Goedla nie da sie udowodnic ani kompletnosci, ani niesprzecznosci danego systemu, sprowadzonego do matematycznej formy. Aby to zrobic, trzeba uciec sie do meta-matematyki (logiki), ktora w koncu tez nie moze byc okreslona w granicach tego systemu. I tak bez konca. Wiec, aby opisac dany sysem logiczny, czyli sprowadzalny do logiki formalnej, trzeba wyjsc poza ten system i opisac go, niejako „z zewnatrz”. Na tym glownie polega paradoks „czarnych krukow”. Pozostanie w jednym systemie nieuchronnie prowadzi do paradoksu i to wlasnie zauwazyl Goedel.

    Pozdrawiam.

  26. @fizykomaniak

    Dokładnie tak: to jest drugie twierdzenie Goedla.
    Pierwsze twierdzenie orzeka, że w każdym takim systemie jest zdanie, którego prawdziwości ten system nie determinuje.

    Oba twierdzenia mają dodatkowe założenia dotyczące postaci systemu, oprócz możliwości wyrażenia w nim arytmetyki. Wymagane jest, by istniał algorytm rozstrzygający, jakie zdania są aksjomatami i jakie reguły wnioskowania są dostępne w systemie.

  27. Wojtek-1942 pisze: 2011-03-12 o godz. 16:44
    „każde spostrzeżenie ptaka który nie jest czarny i nie jest krukiem zwwększa prawdopodobieństwo tego, że wszystkie kruki są czarne”

    Już w pierwszych słowach mego wpisu moim zdaniem jasno zaproponowałem odejście od „wszystkie” do „prawie wszystkie” przychylając się do stosowania podejścia probabilistycznego zamiast rozprawiać o absolutach.

    Przykład z krukiem do wskazania trudności we wnioskowaniu uznałem za zabawny. Uwagę „Nie musisz narzucać swoich gustów.” uważam za niegrzeczną.
    Zakpiłem niczego nie narzucając. Zabolało. Widać trafiłem w czuły punkt.

    Szaleni naukowcy mają prawo do zabawy. Także w poście. A w reakcji na moją kpinę znów ujęcie kategoryczne: „każdy może bawić się”. Oczekiwałbym liczby mnogiej „inni mogą się bawić”. Ja nie wpisałem się aby grać w samotnika.
    Ja tylko zwróciłem uwagę, że gdy chcemy prowadzić rozważania o wnioskowaniu logicznym, to powinniśmy ustrzec się od mimowolnej śmieszności i posługiwania się zdrowym rozsądkiem.

    Jeśli uraziłem, to przepraszam.
    Nie zmienia to mojego podejścia. Kruk nie jest bytem dobrze określonym.
    Genetycy nie wiedzą co zrobić z przypadkami krzyżowania się gatunków korali.
    Logicy rozważają logiki wielowartościowe oraz logikę ze sprzecznościami.
    Gdybyśmy w tamtą stronę ruszyli, to staranność w popularyzacji jest bardzo zalecana. I słowa „musisz” powinny być używane bardziej ostrożnie.

    Pozdrawiam serdecznie i proszę nie gasić usmiechu.

  28. Czytałem te wasze posty, czytałem – no i nie wytrzymałem.
    Tylko jeden czy dwa posty były blisko prawdy.

    Rozwiązanie.
    Paradoks kruków jest prawdziwy, ale prawie bezużyteczny.

    Oto jak możnaby teoretycznie (ale tylko teoretycznie)
    dowodzić to, że wszystkie kruki są czarne:

    1. Niech W oznacza zbiór (lub kategorię -> wiki) wszystkich bytów.

    2. W można podzielić na podzbiór BCz bytów czarnych i BNCz bytów nieczarnych. Zakładamy, że BCz i BNCz są rozłączne i dają w sumie cały W.

    3. Zastosujmy teraz procedurę z paradoksu – dla każdego elementu z BNCz sprawdzamy czy jest krukiem.
    Jeśli kolejny byt nieczarny jest krukiem to hipoteza jest nieprawdziwa.
    Jeśli kolejny byt nieczarny nie jest krukiem to ok, stwierdzenie takiego faktu, ani nie obala, ani nie dowodzi hipotezy,
    ale działa na korzyść hipotezy bo zwiększa ilość naszej informacji – każdy nieczarny niekruk troszeczkę wzmacnia hipotezę (i to jest plus procedury z paradoksu kruków).
    Pytanie ile wynosi to troszeczkę – otóż, niewiele tyle co nic
    – miara pozyskanej informacji jest taka, jakim ułamkiem zbioru BNCz jest dany element.
    ( i to jest pierwszy minus paradoksu kruków).

    4. Procedurę trzeba wykonać dla wszystkich elementów zbioru BNCz (lub do znalezienia pierwszego kruka w BNCz) a to drugi minus paradoksu kruków – no bo czy możemy przejrzeć wszystkie elementy zbioru BNCz ( albo jest on nieskończony lub olbrzymi więc próżny trud – takie przejrzenie możemy zrobić chyba tylko w matematyce – a to jest drugi mały plus paradoksu kruków). Im więcej sprawdzimy elementów BNCz to (w połączeniu z pkt.6), tym bardziej hipoteza bedzie wiarygodna (Tak zdaje się robi w statystyce ).

    5. Załóżmy, że wykonaliśmy procedurę dla wszystkich elementów, czyli wśród BNCz nie ma kruków.

    6. Co trzeba jeszcze zrobić ? Udowodnić istnienie chociaż jednego kruka !

    7. W ten sposób udowodnilibyśmy hipotezę „Wszystkie Kruki są czarne”.

    Tę procedurę możemy dowodzić hipotezy tylko gdy możemy zbadać wszystkie elementy (np. w matematyce lub gdy zbiór BNCz jest skończony i mały).
    Tak można dowieść np. że „Każda liczba pierwsza różna od 2 jest nieparzysta”. (Spróbujcie).

    Czyli procedura paradoksu kruków ma dwa małe plusy i dwa olbrzymie (dyskwalifikujące) minusy.

    Poza tym znaleźliśmy białego kruka, czyli obaliliśmy hipotezę w punkcie 3.

    Poza tym, jeżeli nie ktoś nie zna dobrze logiki matematycznej to proszę niech nie wymawia nawet imienia Goedla.
    To tak jak chwalić się na podwórku, że zna się Batmana.

    Jako pokutę zadaję Wam „Wstęp do matematyki współczesnej” Heleny Rasiowej.

    No i jeszcze jedno: Dziedziny nauki, twierdzenia i ich dowody (tak z grubsza, nie chce mi się szczegółowo rozpisywać).
    Różne dziedziny mają różny poziom wymagań, co do tego, kiedy dane zdanie może zostać uznane za prawdziwe.

    I Typ dowodów (najlepszy).
    Zdanie uznajemy za prawdziwe gdy podamy jego formalny dowód wykorzystujący logikę matematyczną (jakiś jej rodzaj) oraz uprzednio określone pojęcia podstawowe, relacje pomiędzy nimi i zdania z tej teorii uznane za prawdziwe.
    Np. matematyka

    II Typ dowodów.
    Zdanie uznajemy za prawdziwe gdy podamy dowód matematyczny oraz uprzednio określone pojęcia podstawowe, relacje pomiędzy nimi i zdania z tej teorii uznane za prawdziwe.
    Np. fizyka matematyczna.

    III Typ dowodów.
    Zdanie uznajemy za prawdziwe gdy podamy dowód matematyczny z grubsza poprawny.
    Np. fizyka.

    IV Typ dowodów.
    Zdanie opisujące rzeczywiste zjawisko uznajemy za prawdziwe gdy obserwowacje tego zjawiska nie przeczą mu.
    Jedna obserwowacja tego zjawiska przecząca zdaniu falsyfikuje je.
    np. fizyka

    V Typ dowodów.
    Zdanie opisujące rzeczywiste zjawisko uznajemy za prawdziwe gdy większość (taka jaką się chce) obserwowacji tego zjawiska
    nie przeczy mu.Jedna obserwowacja tego zjawiska przecząca zdaniu nie falsyfikuje go.
    Np. Zdanie „Kruki są czarne” jest uznawane (w biologii) za prawdziwe mimo istnienia białych kruków.(Ach ci biolodzy).

    VI Typ dowodów.
    Zdanie zostaje uznane za prawdziwe gdy większość badaczy uzna je za prawdziwe.
    Np. teologia

    TAK WIĘC KIEDY COŚ TWIERDZICIE MÓWCIE JAKIEGO TYPU DOWODZENIA UŻYLIŚCIE.

    Pozdrawiam

  29. @ MMM pisze: 2011-03-13 o godz. 23:42

    Poniewaz jestem tu jedynym, ktory powolal sie na Goedla odnosze wrazenie, ze twoj komentarz odnosi sie do mnie. Moge zapewnic cie, drogi logiku, ze ani raz nie uzylem jego imienia. A bylo i jest: KURT.

    Jesli chodzi o twoj wywod logiczny, to dotyczy tezy, ktora ma sto lat i tylez razy byla obalona. Traktuje teze Hempla jako argument nie tyle czysto logiczny ile logicznie „zdroworozsadkowy” i dlatego ciekawy, jak przez zastosowanie pozornie podstaw logiki mozna dojsc do blednych wnioskow.

    Jak na przyklad: „…jeżeli nie ktoś nie zna dobrze logiki matematycznej to proszę niech nie wymawia nawet imienia Goedla.” Wiec mozna smialo wywnioskowac, ze wszyscy mamy na mysli Kurta Goedla, czlonka „Kola Wiednskiego”, co pozwala nam wnioskowac, ze wszycy czlonkowie tego kola, ktorzy nie maja na imie Kurt – nie sa Goedlami, co z kolei doprowadza nas do konkluzji, ze wszyscy Goedlowie maja na imie Kurt.

    Zgadza sie?

  30. @MMM

    „Poza tym, jeżeli nie ktoś nie zna dobrze logiki matematycznej to proszę niech nie wymawia nawet imienia Goedla.”

    No to dupa zimna. Koniec logiki bliski.

    Bo jak tu teraz robić egzamin z logiki?

    Student jeszcze nie zdał, nie ma prawa twierdzić, że zna logikę, więc nie ma prawa wymienić imienia Goedla.

    Żeby zdał, trzeba go o Goedla zapytać. Ale jemu nie wolno wymienić świętego imienia, więc nie odpowie i w związku z tym nie zda.

    Koło się zamknęło, za pokolenie logików już nie będzie a pamięć o twierdzeniach Goedla zaginie.

  31. To wcale nie jest osłabienie twierdzenia Koła Wiedeńskiego, tylko obalenie zasadności „prawa rachunku nazw Arystotelesa (prawa kontrapozycji)”

    P.S. A co to za ptaszek na tym zdjęciu? Przecież to nie kruk, tylko jakiś szpaczek…

  32. Zakrzywiony, stosunkowo krótki dziób, wąskie gatki, no i dla ludzkiego oka – kruczoczarny kolor – to jak najbardziej może być kruk. Na pewno nie gawron i raczej nie czarnowron. Oczywiście – może to być też coś bardziej egzotycznego.

  33. @ panek
    Nie sugerował bym się kolorem bo zdjęcie jest pod światło i ściemnia postać. A ogonek i okrągła głowa sugeruje kawkę.
    A czemuż to Panowie uważacie proste zdanie oznajmujące, którego prawdziwość jest przedmiotem rozmowy za aksjomat. Czegoś nie wiem?
    Z poważaniem W.

  34. @Wojtek
    Owszem, kawki nie można wykluczyć przy tej jakości.

  35. Tak na marginesie – zostałem poproszony o gościnny wpis na innym blogu, co zaskutkowało tym: http://plamkamazurka.blox.pl/2011/03/Ptasie-madrale.html
    W sumie przypadkiem też wyszło o krukach, raczej bez paradoksów.

  36. Sumienie nakazuje mi wejść pod ławę i odszczekać. Zatem, nieprawdą jest iż zdanie: wszystkie kruki są czarne, jest nieweryfikowalne. Poniesiony polemicznym zapałem tak sobie pomyślałem a to jest jedynie brak technologii do weryfikacji prawdziwości tego zdania bowiem warunki weryfikacji są znane. Trzeba oglądnąć wszystkie kruki. Wszystkie! Natomiast nie przekonuje mnie opinia J.Ty. że sprawę załatwić można statystyką. Zdanie może być jedynie albo fałszywe albo nie. Jeśli fałszywe nie jest to jest prawdziwe. Nie ma zdań w kilkudziesięciu procentach fałszywych. To są zdania źle skonstruowane. A jeśli po zbadaniu okaże się iż jakiś procent kruków nie jest czarny to zdanie ‚wszystkie są czarne ” prawdziwe nie jest. Co przypomniał wcześniej GP.
    Z poważaniem W.

  37. @Wojtek

    Ja nie twierdzę, że są zdania prawdziwe w 70% i (nawet jeśli są) to nie propaguję ich używania.

    Propaguję zdania całkowicie prawdziwe w stylu:
    Co najmniej 99,9% kruków jest czarnych, z prawdopodobieństwem co najmniej 95%.

    Rozwijając to zdanie, zazwyczaj reprezentuje ono następującą informację:
    Przebadaliśmy X kruków, spośród których Y było czarnych. Procedura wyboru kruków do badania była TAKA.
    Na podstawie tych danych i analizy statystycznej stwierdzamy, że co najmniej 99,9% kruków jest czarne, z prawdopodobieństwem co najmniej 95%

    Skąd biorą się te procenty:

    – 99,9% to wynik policzenia kruków czarnych i nie-czarnych w zbadanej próbce i dołożenia marginesu błędu.

    – 95% to wynik obliczenia, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana do badania próbka ma przypadkowo na tyle inne proporcje czarnych do nie-czarnych od całej populacji, że wartość z punktu poprzedniego jednak jest niezgodna z wartością dla całej populacji (tzn. błąd okazał się większy, niż przyjęty margines).

    Każda generalizacja tez empirycznych oparta na zbadaniu części populacji opiera się na tym samym schemacie postępowania, tyle że czasem badacz pisze w pierwszym punkcie 100% i pomija drugi, bo albo nie umie, albo nie chce przeprowadzić dokładniejszej analizy i ukrywa to przed czytelnikami.

  38. @ J.Ty. pisze:
    2011-03-17 o godz. 09:46

    Nie, nie i jeszcze raz nie. Aksjomat (co juz mi ktos zarzucil) mowi WSZYSTKIE kruki sa czarne, tzn. 100 %, nie 99,7, czy 98,0. W logice takich schematow nie ma. W rachunku prawdopodobienstwa – tak. Ale teza Hempla odnosila sie do logiki, wiec relatywizacja postawionej tezy nie ma sie nijak do logiki. Prosze wiec nie mieszac rachunku prawdopodobienstwa z logika. Logika to rachunek zero/jedynkowy. Albo cos jest prawdziwe, albo nie. Rachunek prawdopodobienstwa opiera sie na zupelnie innych zasadach. Jesli statystycznie jakakolwiek teza zmierza do jednosci, to moze byc prawdziwa, jesli zmierza do zera, to jest nieprawdziwa. Ale tylko statystycznie. Stwierdzenie „Wszystkie kruki sa czarne” – jest aksjomatem i wykazanie chocby jednego przypadku nieczarnego kruka ten aksjomat obala.

    @ Wojtek-1942 pisze:
    2011-03-16 o godz. 18:56

    Absolutnie sie zgadzam. Logiki nie mozna zastapic statystyka. Albo twierdzenie jest prawdziwe, albo nie. Jak moga dzialac komputery na podstawie statystyki. Kiedy wybieram konkretna litere na klawiaturze, to ta sama litera musi pojawic mi sie na monitorze, nie statystycznie przyblizona. Moze to prymitywny przyklac, ale tak to dziala. Moj komputer nie podaje mi „statystycznej” liczby klientow na litere „K”. Podaje mi wszystkich. Moze natomiast wyliczyc, ilu klientow na litere „K” stanowi procent calej reszty. Moge tez oczywiscie (jak Hempel) zastrzec, ze wszyscy klienci maja nazwiska zaczynajace sie na litere „K”.

    To wlasnie jest aksjomat, ktory z cala pewnoscia doprowadzi mnie do blednych wnioskow.

  39. @J.Ty.
    Zdanie: 99%kruków to ptaki czarne sprawia tę samą trudność technologiczna sprawdzenia jego prawdziwości. Też konieczny jest ogląd wszystkich kruków.
    Z poważaniem W.

  40. J.Ty napisał

    „Co najmniej 99,9% kruków jest czarnych, z prawdopodobieństwem co najmniej 95%.”

    Proponuję jednak mówić, że na poziomie ufności 95% stwierdzono empirycznie, że 99,9% kruków jest czarnych. Stwierdzenie, że 99,9% kruków jest czarnych jest przy ustalonej populacji zdaniem deterministycznym, a badacz mówi, że wynik 99,9% dała metoda, która wynik mniejszy niż prawdziwa proporcja czarnych kruków zwraca z prawdopodobieństwem co najwyżej 0,05.

    Oczywiście metodologia kryjąca się za tym wszystkim jest taka jak opisał J.Ty., tylko terminologia może nieco mylić.

    Chyba, że intencją J.Ty. była jakaś interpretacja bayesowska, ale wtedy jednak metodologia i filozofia jest jednak nieco inna.

  41. czyli kazdy czarny przedmiot ktory nie jest krukiem a jednak jest czarny ta teze obala?

  42. @jarrem,

    Nie. Zdanie wszystkie kruki są czarne nie jest równoważne zdaniu wszystko co czarne, jest krukiem.

  43. Są to podstawowe założenia logiki, przedstawiony tekst tyczy się tzw kwadratu pitagorejskiego, zwanego też logicznym. Każdy prawnik musi umieć się nim posłużyć. Użycie wyklucza gdybaninę.

  44. Gwoli ścisłości: kwadrat logiczny nie ma nic wspólnego z Pitagorasem.

  45. Wydaje mi się, że ta cała historia to wyssane z palca bzdety 🙂
    Problem nie istnieje.
    Wedle praw logiki zdanie „wszystkie kruki są czarne ” A(B=C) tłumaczymy:
    nieA (nieB=nieC) czyli nie wszyskie nie-kruki są nie-czarne. KONIEC DEBATY !

    pozdrawiam.

  46. Kruk jaki jest każdy widzi i słyszy 😉

  47. Zgodnie z klasycznym rachunkiem zdań „kontrapozycją” zdania:

    *Wszystkie kruki są czarne.*

    jest:

    *Istnieją ptaki, które nie są czarne, i nie są krukami.*

    a nie jak to napisano:

    *Wszystkie ptaki, które nie są czarne, nie są krukami.*

    Poza tym słowo kontrapozycja ma rację bytu tylko w kontekście implikacji (tak, formalnie powyższe zdania NIE SĄ twierdzeniami, są zdaniami), dlatego ująłem je w cudzysłów. W zasadzie podane zdania da się zapisać jako implikacje, jednak powstaje niejednoznaczność:

    *Dla każdego ptaka: jeśli jest czarny, to jest krukiem*
    *Dla każdego ptaka: jeśli jest krukiem, to jest czarny*

    I to właśnie z tej niejednoznaczności wynikają wszystkie dywagacje. Niestety język naturalny nie zawsze jest dość precyzyjny, aby oddać sedno problemu i tu właśnie pojawia się miejsce dla naukowców-sofistów jak pan Hempel.

    Nie chcę wyjść na gbura, ale czasem zamiast dumać nad logiką trójwartościową i rozmytą warto otworzyć książkę do liceum na rozdziale „rachunek kwantyfikatorów”.

    —–

    PS. Właśnie zauważyłem, że ktoś przede mną już wypowiedział się z sensem w tym temacie. Pozdro dla Niego!

  48. @Karol,

    Mylisz się. W odpowiedzi polecę dowolny podręcznik – np. Ziembińskiego – do logiki. Systemem odniesienia nie jest tu rachunek zdań, lecz rachunek nazw. A w nim prawo kontrapozycji jest takie, jak to opisałem we wpisie. Kontrapozycją zdania „wszystkie kruki są czarne” jest zdanie „wszystkie przedmioty nie-czarne są nie-krukami”. Oba zdania są sobie równoważne.

  49. ech, kolejny filozof, co myśli, że znalazł paradoks, a tak na prawdę powinien przyłożyć się bardziej w czasie studiów do zajęć z logiki

  50. Nikt nie widział wszystkich kruków,więc nie może stwierdzić ,czy są one czarne.Paradoks czarnego kruka,bez żadnych pojęć filozoficznych, jest nonsensem.Czy ma jakieś odzwierciedlenie w naszym codziennym życiu?Czym kierował się Hempel tworząc swą teorię? Co chciał w ten sposób uzyskać?

  51. Co do II twierdzenia Godla o niezupełności, to w 2009 r. razem z Dr Teodorem Stępniem, wygłosiłem na konferencji „Logic Colloquium 2009” w Sofii (Bułgaria), referat pt. „On consistency of Peano’s Arithmetic System”. Referat ten był poświęcony zarysowi całkowicie elementarnego dowodu niesprzeczności arytmetyki Peano, który to dowód, rzecz jasna, skonstruowaliśmy przedtem. Fraza „dowód całkowicie elementarny”oznacza tutaj, że w tym dowodzie zostały użyte WYŁĄCZNIE aksjomaty logiki rzędu I oraz aksjomaty arytmetyki Peano. Zatem, z konstrukcji tego dowodu wynika, że II twierdzenie Godla o niezupełności jest nieważne. Abstrakt ww. referatu został opublikowany w „The Bulletin of Symbolic Logic”: T. J. Stępień and Ł. T. Stępień, „Bull. Symb. Logic”, vol. 16, No. 1, 132 (2010). Link do tego asbtraktu: http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1601/1601-004.ps

  52. Wszystko zależy od przyjętej definicji kruka i koloru zielonego… A swoją drogą, to spotykam coraz więcej polskich prof. dr hab., którzy wyciągają ogólne wnioski na podstawie niererezentatywnej próbki, czyli że nie zaliczyliby oni u mnie pierwszego roku studiów. Wygłaszają oni np. takie ogólne sądy, jak „polskie wyższe uczelnie nie są gorsze od amerykańskich (australijskich, brytyjskich, francuskich, kanadyjskich, niemieckich czy też szwedzkich – niepotrzebne skreślić), gdyż moi koledzy, którzy są absolwentami polskich wyższych uczeni, to zrobili kariery naukowe na Zachodzie. Albo też – moje dzieci to skończyły polskie wyższe uczelnie i znalazly one bez trudu pracę w swym zawodzie na Zachodzie, ergo polskie wyższe uczelnie są niegorsze niż zachodnie.
    Lech Keller, PhD (Monash)

  53. @Lukasz

    A ukazał się ten dowód gdzieś drukiem? Widział i analizował go ktoś poza samymi autorami?

  54. Teraz jesteśmy na etapie nagłaśniania tego wyniku, dla możliwie maksymalnego zabezpieczenia praw autorskich.

  55. Ale jak można nagłaśniać coś, czego jeszcze realnie nie ma, bo nikt oprócz autorów tego nie widział? Naturalna droga zabezpieczenia sobie sławy i autorstwa to wysłać manuskrypt do doskonałego, renomowanego czasopisma. Albo wręcz odwrotnie: opublikować na cały świat w arXiv.

  56. P.S. Za odpowiednia oplata moge w kazdej chwili wyglosic odczyt na temat „On inconsistency of Peano?s Arithmetic System?.
    LK

  57. Nie mamy tu do czynienia z żadnym paradoksem.

    Kruk Hempel’a jest jedynie przykładem pokręconego zastosowania logiki. Dobrze sprawdza się również jako kontrargument dla probatio diabolica.

css.php