Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2

2.02.2010
wtorek

Kwadratowe prawo Lanchestera

2 lutego 2010, wtorek,

Przy okazji pisania o krzemowych żołnierzykach przypomniało mi się kwadratowe prawo Lanchestera. Zostało ono wyprowadzone czysto matematycznie, jako konsekwencja układu równań różniczkowych opisujących walkę dwóch oddziałów wrogich sobie armii. Ten model matematyczny został także pomyślnie przetestowany eksperymentalnie na podstawie strat sił amerykańskich w bitwie o Iwo Jimę.

Jeśli liczebności obu oddziałów oznaczymy przez A i B, to kwadratowe prawo Lanchestera orzeka, że wartość

pozostaje niezmienna w czasie całej walki, mimo iż zarówno A, jak i B maleją wskutek strat.

alfa i beta we wzorze to dwie stałe, które opisują względną siłę obu oddziałów. alfa opisuje siłę ofensywną oddziału A oraz jednocześnie siłę defensywną oddziału B. Należy to rozumieć tak, że wyposażając żołnierzy oddziału A w nową, lepszą broń i ćwicząc ich w strzelaniu, zwiększamy współczynnik alfa, zaś wyposażając oddział B w lepsze umundurowanie maskujące i mocniejsze hełmy oraz ćwicząc żołnierzy w budowie okopów, zmniejszamy ten sam współczynnik. Rola beta jest symetryczna. Istotnym założeniem, potrzebnym do wyprowadzenia prawa Lanchestera, jest to, że oba oddziały mają być złożone z jednakowo uzbrojonych i wyszkolonych żołnierzy, którzy walczą na ograniczonym terenie, tak, iż wszyscy widzą się nawzajem i mogą ostrzeliwać. Na Iwo Jimie te założenia nie były do końca spełnione, ale mimo to rzeczywisty przebieg walki odpowiadał temu, co przewiduje matematyka.

W myśl prawa Lanchestra, potencjał bojowy generalnie rośnie liniowo wraz ze wzrostem jakości wyposażenia i wyszkolenia żołnierzy, a kwadratowo ze wzrostem liczebności żołnierzy. Na przykład, dla wyrównania dwukrotnej przewagi liczebnej przeciwnika nie wystarczy mieć broni o dwukrotnie większej szybkostrzelności.

Prawo Lanchestera oznacza też, że obliczywszy wartość

tuż przed walką albo na samym jej początku, możemy już w tym momencie określić, który oddział walkę wygra i ilu żołnierzy ją przeżyje. Jeśli M jest dodatnie, wygra oddział A, jeśli ujemne to oddział B. W tym pierwszym przypadku przeżyje

żołnierzy A, a w drugim

żołnierzy B. Jeśli M=0, to walka będzie nierozstrzygnięta w tym sensie, że oba oddziały wybiją się nawzajem „do nogi”.

Na widok tego porażającego determinizmu, chciałoby się zakrzyknąć „Na Heraklesa! Położono kres męstwu człowieka!”. Te słowa miał wedle Plutarcha wypowiedzieć król Sparty Archidamos III, gdy mu pokazano pocisk do jednej z pierwszych katapult.

Właściwie nie wiem, czy to pocieszające, ale odkąd równania Lanchestera zostały opublikowane (rok 1916), wiele razy okazało się, że jednak wcale nie ubyło okazji do demonstrowania męstwa w obliczu wroga tylko dlatego, że ujęto walkę w równania matematyki?

Jerzy Tyszkiewicz

Ilustracja: Grose, Francis: „The Antiquities of England and Wales”, 1783 (CC PD)

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 10

Dodaj komentarz »
  1. W Oświeceniu sądzono, że wojny można wygrywać na podstawie algorytmu. Najdalej posunięta wiara tego rodzaju była w Prusach i Wielkiej Brytanii. Stworzono tam nawet regulaminy (w Prusach dla wojsk lądowych, w Wielkiej Brytanii dla marynarki wojennej), rzekomo gwarantujące zwycięstwo pod warunkiem posiadania choćby minimalnej przewagi. Był tylko jeden problem: to niezupełnie działało.

    Czy ktoś próbował sprawdzić, jak ma się prawo Lanchestera np. do tej bitwy?
    http://en.wikipedia.org/wiki/Operation_Compass

  2. Model matematyczny opisujący w jaki sposób walczą ze sobą na polu bitwy dwie siły są współcześnie o wiele bardziej rozwinięte.

  3. Tak się składa, że te modele, chociaż się o nich
    nadal mówi i niektórzy udają ekspertów od ich
    wykorzystania, tak naprawdę nie mają prawie żadnej
    wartosci predykcyjnej. Patrz poniżej, czasopismo
    jest dosyć dostępne. Z pełnej treści taki wniosek jest
    jeszcze bardziej oczywisty.

    Fitting Lanchester equations to the battles of Kursk and Ardennes
    Thomas W. Lucas , Turker Turkes

    Abstract
    Lanchester equations and their extensions are widely used to calculate
    attrition in models of warfare. This paper examines how Lanchester models
    fit detailed daily data on the battles of Kursk and Ardennes.
    The data on Kursk, often called the greatest tank battle in history,
    was only recently made available. A new approach is used to find the
    optimal parameter values and gain an understanding of how well various
    parameter combinations explain the battles. It turns out that a variety
    of Lanchester models fit the data about as well. This explains why
    previous studies on Ardennes, using different minimization techniques
    and data formulations, have found disparate optimal fits. We also find
    that none of the basic Lanchester laws (i.e., square, linear, and logarithmic)
    fit the data particularly well or consistently perform better than the others.
    This means that it does not matter which of these laws you use,
    for with the right coefficients you will get about the same result.
    Furthermore, no constant attrition coefficient Lanchester law fits very well.
    The failure to find a good-fitting Lanchester model suggests that it may
    be beneficial to look for new ways to model highly aggregated attrition.

    2003 Wiley Periodicals, Inc. Naval Research Logistics, 2004.

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. @Informatyk Stosowany, @zygzak

    Oczywiście zgadzam się. Prawa Lanchstera wyprowadza się teoretycznie przy pewnych założeniach i jeśli realne warunki na polu walki nie spełniają tych założeń (a zwykle trudno o to), to albo trzeba szukać nowych, lepszych modeli (Informatyk Stosowany), albo pogodzić się z tym, że te modele które mamy, dostarczają predykcji o najwyżej umiarkowanej trafności (zygzak) .

    Sam nawet próbowałem weryfikować model Lanchestera w czasie Festiwalu Nauki, organizując walki przy użyciu gry sieciowej typu „strzelanka”. Jedne przebiegi pasowały do modelu lepiej, inne gorzej. Na przykład wystarczyło, żeby w jednej z drużyn pojawił się gracz wyraźnie przewyższający umiejętnościami innych i założenie o równym wyszkoleniu graczy natychmiast się waliło. Na wszelki wypadek używaliśmy niezbyt popularnej gry i w opisie imprezy jej nazwa nie była podana, ale i tak trafiali się gracze z setkami godzin doświadczenia i tacy właściwie sami mogli pokonać całą drużynę przeciwnika.

    Jeśli myślimy o Ardenach czy Łuku Kurskim, to mamy do czynienia z olbrzymimi operacjami na ogromnym teatrze działań, gdzie trudno sobie wyobrazić syntetyczne opisanie całej sytuacji kilkoma stałymi współczynnikami.

    Przecież nie raz zdarzały się takie sytuacje: oddział A broni wsi, B atakuje. Parametry alfa i beta uwzgędniają to, że żołnierze A mogą kryć się w budynkach, a B posuwają się w otwartym terenie. B kosztem wielkich strat wypierają A ze wsi, po czym A kontratakują – ale teraz parametry się muszą zmienić, bo to B się chowają w domach, a A są widoczni jak na dłoni…

    Sami moglibyście dołożyć masę innych zjawisk nie dających się ująć za pomocą „constant attrition coefficient Lanchester law”, które wedle autorów publikacji w Wiley’u się nie sprawdzają. Ja bym raczej się zdziwił, gdyby te prawa w tej sytuacji dawały dobre przewidywania, biorąc pod uwagę jak dalece realna sytuacja odbiegała od założeń modelu Lanchestera.

    Nawiasem mówiąc, w tym wpisie co innego było dla mnie ważne i ciekawe.

    Tak naprawdę tym, co mnie zainteresowało

  6. „Nawiasem mówiąc, w tym wpisie co innego było dla mnie ważne i ciekawe.

    Tak naprawdę tym, co mnie zainteresowało…”
    i tu rękopis się urywa. Świetne zagranie taktyczne. 😉

  7. Oczekiwalbym raczej, ze szybkosc produkcji trupow jest proporcjonalna do iloczynu liczebnosci wojsk : dA/dt=-k1 AB i dB/dt=-k2 AB.

  8. @panek

    Przepraszam – nawet nie zauważyłem, że kawałek wypowiedzi mi zginął. Już kończę.

    Tak naprawdę tym, co mnie zainteresowało jest moje własne uczucie, że poddanie wojny jako zjawiska opisowi matematycznemu jakby odziera ją z tajemniczości, wyjątkowości. Jest to dziwne do kwadratu, bo jestem matematkiem i powinienem być zahartowany, w dodatku nie jestem militarystą, ale jednak. Tu Powstanie Warszawskie, bitwa warszawska 1920, Verdun, groby z pierwszej wojny światowej w Beskidzie Niskim (osobiście robią na mnie ogromne wrażenie) – i to wszystko ujęte w układ równań różniczkowych zwyczajnych?

    @Bobola

    Jednak dA/dt=-k1 B bo ilość trupów A w jednostce czasu jest proporcjonalna do ilości strzałów oddanych przez B.

    W wersji dA/dt=-k1 AB mogłoby dojśc do tego, że przy ogromnej liczebności A tracą oni więcej żołnierzy niż B wystrzeliwują pocisków.

  9. Likwidacja zolnierzy jest opisana kinetyka drugiego stopnia . Tak jak problem epidemii. Dla poczatkowej fazy konfliktu mozemy, co najwyzej rownania zlinearyzowac ale i wtedy nie beda one takie jak podane wyzej. Wynika to stad, ze pojedynczy zolnierz A strzela potencjalnie do wszystkich zolnierzy przeciwnika i likwiduje ich z szybkoscia kB. Tych zonierzy jest jednak A razy wiecej wiec szybkosc ubytku dB jest proporcjonalna do iloczynu AB. Mozna zreszta sprawdzic, ktore rownania lepiej opisuja dane doswiadczalne.

  10. @Bobola
    Piszesz, że

    „Wynika to stad, ze pojedynczy zolnierz A strzela potencjalnie do wszystkich zolnierzy przeciwnika i likwiduje ich z szybkoscia kB.”

    Powiedzmy, że stoję jako samotny A przed tłumem wrogów B. Czy naprawdę jak zacznę strzelać do nich, to będę ich likwidował z szybkością kB? Powiedzmy, że gdyby ich było 10 to zdołałbym zabić jednego zanim sam zginę (czyli k=1/10). Czy jeśli stanę naprzeciw 1000 wrogów, to zdołam zabić 100? A jakby było ich milion, to 100 000?

    Trudno mi to sobie wyobrazić, choć przypominam sobie rzeczywiście powiedzonko, że stach podwaja siły.

  11. Nie jestem w stanie odpowiedziec na emocjonalna strone pytania. Wszystko to co chcialem powiedziec, to to, ze tego typu „reakcje” dwu czasteczkowe” i ich kinetyka byly juz przerabiane w innych kontekstach i zawsze szybkosc reakcji byla zdefiniowana jako iloczyn „stezen” skladnikow (lub ich liczebnosci) i stalej szybkosci reakcji. Inaczej jako k [A] [B] co oparte jest na rozumowaniu, ze k dt to prawdopodobienstwo zajscia zdarzenia jednostkowego w czasie dt i ze to prawdopodobienstwo zwieksza sie proporcjonalnie do ilosci mozliwych par skladnikow. Nie widze powodu aby nie stosowalo sie to do procesu losowego zabijania. Jezeli problem ten jest dla Ciebie istotny to moge o tym napisac wiecej na http://bobolowisko.blogspot.com , gdzie serdecznie zapraszam. Tutaj bowiem jest dosyc niewygodnie zamieszcac jakiekolwiek informacje matematyczne. Takze wiekszosc podrecznikow chemii fizycznej zawiera dzial kinetyki reakcji chemicznych gdzie tego typu rownania sa dosyc powszechne.

css.php