Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców

23.11.2017
czwartek

Złożona kwestia

23 listopada 2017, czwartek,

Niedawno wziąłem udział w spotkaniu, które miało poruszać m.in. kwestie prostoty i złożoności. Ostatecznie dyskusja poszła w inną stronę, ale samą kwestię mogę tu zarysować.

Przeanalizujmy sytuacje z obrazka. Sytuacja A wydaje się stosunkowo prosta – mamy cztery punkty. Nie są połączone. Właściwie nie ma o czym więcej mówić. To, że punkty są ponumerowane w kolejności odwrotnej od ruchu wskazówek zegara, nie ma większego znaczenia.

Sytuacja B jest na pewno bardziej złożona. Punkt 1 jest połączony z punktami 2 i 3, a punkt 2 dodatkowo z 3. Punkt 4 nie jest połączony z żadnym innym.

A sytuacja C? Wydaje się bardzo złożona. Punkt 1 jest połączony z punktami 2, 3 i 4. Punkt 2 ponadto jest połączony z punktami 3 i 4. Na dodatek punkt 3 jest połączony z punktem 4.

Ale zaraz, przecież sytuację C można opisać inaczej. Wszystkie cztery punkty są ze sobą połączone.

Poprzedni akapit jest przykładem kompresji opisu. Sytuację C można opisać zawile, połączenie po połączeniu, ale da się ją opisać też jednym zdaniem. W istocie sytuacja C jest praktycznie tak samo prosta jak sytuacja A. Są to sytuacje komplementarne, wzajemnie się dopełniające.

W teorii informacji złożoność i prostotę określa się właśnie przez długość opisu i ewentualną możliwość kompresji tego opisu. Zatem niektóre układy mogą się wydawać na pierwszy rzut oka bardzo złożone, a są w istocie całkiem proste. Tak jest z układem na obrazku C. Najbardziej złożona sytuacja jest na obrazku B, który wcale nie ma największej liczby połączeń. Warto o tym pamiętać, gdy dyskutuje się o złożoności i prostocie.

Tu przyznam, że mam pewien problem z liczbą π. Problem pojawił się właśnie w związku z przywołanym na wstępie spotkaniem. Otóż Karol Jałochowski, który jest fizykiem i twórcą tego bloga (choć teraz przeszedł do bardziej centralnej części POLITYKI), twierdzi, że π jest bardzo prosta. W końcu da się ją opisać banalnym równaniem – jest ilorazem obwodu koła (okręgu) do jego średnicy. Mnie jednak to nie do końca przekonuje. Owszem, sam wzór na obliczanie π jest prosty, ale jak uznać, że liczba o nieskończonym rozwinięciu, które na dodatek nie jest w żaden sposób okresowe, jest prosta? Pomijam już kwestię praktyczną, bo żeby dokładnie wyznaczyć ten iloraz, trzeba by nieskończenie dokładnie zmierzyć i obwód, i średnicę. Trzeba by mieć nieskończenie dokładną linijkę (jak praktycznie zmierzyć obwód, a nie tylko jego przybliżenie, nawet sobie nie wyobrażam). I – jeśli dobrze rozumiem (jeśli nie, proszę mnie poprawić) – przynajmniej jedna z tych wielkości musi być wyrażona liczbą niewymierną.

No właśnie, może to kwestia wyobraźni. Może jako przyrodnik za bardzo chcę wyobrazić sobie coś namacalnego, i stąd problem. Podobną kwestią mogą być fraktale. W matematyce idą w nieskończoność, ale w gruncie rzeczy są dość proste. Ich kształty nie są losowe, nie są chaotyczne (ani w sensie klasycznym, ani w sensie chaosu deterministycznego, który wydaje się prostszy, bo przynajmniej opisywalny matematycznie). W przyrodzie struktury przypominające fraktale są jednak skończone i koniec końców – mimo pewnej złożoności – proste.

Przywołane spotkanie miało związek z pokazem jednego z filmów Jałochowskiego, który przede wszystkim jest jednak dziennikarzem i ostatnio zrobił serię filmów „Pionierzy” o inspirujących naukowcach. Tym razem był film o Gregorym Chaitinie, informatyku, który chciałby opisać matematycznie biologię, a w szczególności teorię ewolucji. Marzy mu się metabiologia. Ubolewa jednak nad tym, że układy biologiczne – ekosystemy – są bardzo złożone, ale wierzy, że problemy z matematyzacją teorii ewolucji to nie feler tej teorii, tylko cecha wynikająca ze złożoności większej niż ta, z którą informatycy sobie zwykli radzić. Przynajmniej jeśli dobrze go zrozumiałem.

Domyślam się, że nie chce wyważać drzwi otwartych na oścież, bo akurat ekologia i ewolucjonizm to te działy biologii, w których matematykę wprowadza się od wielu lat. I z powrotem – można powiedzieć, że statystyka rozwinęła się bardziej dzięki biologom (zwłaszcza ekologom) i ekonomistom, którzy zawracali głowę matematykom, niż samym matematykom. Dzięki temu Nash mógł dostać nagrodę Nobla, co nieczęsto zdarza się matematykom stroniącym od nauk stosowanych. Nagrodę dostał z ekonomii, ale jego wkład w teorię gier jest też podstawą obecnej wersji teorii ewolucji.

Na spotkaniu przyznałem, że z nazwiskiem Chaitina spotkałem się po raz pierwszy. Tymczasem, przygotowując się do tego wpisu, sięgnąłem na półkę do książki, gdzie jakieś 20 lat temu po raz pierwszy zobaczyłem przykład z łączeniem punktów jako ilustracją złożoności – „Kwarka i jaguara” Murraya Gell-Manna. Tamtejszy przykład jest bardziej złożony, bo ma osiem punktów. Po paru przykładach możliwości rozwleczenia i skondensowania informacji Gell-Mann wprowadza podrozdział „Algorytmiczna zawartość informacyjna”. Tytułowe pojęcie wprowadziło w podobnym czasie trzech matematyków-informatyków. Pierwszy z nich to Andriej Kołmogorow.

Mnie to nazwisko jest znane głównie jako eponim testu statystycznego, którym analizuje się dane. Wbrew podręcznikom dane nie zawsze mają rozkład gaussowski i nie można ich analizować testem t-studenta. Tak było też w przypadku moich badań. Algorytmiczna zawartość informacyjna w ogóle jest znana jako złożoność Kołmogorowa. Dwaj pozostali matematycy nie zostali tak upamiętnieni. Jeden z nich to Ray Salomonoff, a drugi to… Gregory Chaitin.

Zatem wynika z tego, że o Gregorym Chaitinie słyszałem, tzn. czytałem, już dawno temu, a teraz tylko miałem okazję sobie przypomnieć. Czasem warto wrócić do lektur sprzed lat, zwłaszcza że „Kwark i jaguar” to całkiem dobra pozycja na rynku popularyzacji nauki.

Piotr Panek

ilustracja autora, copy left (róbta z nią, co chceta)

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 4

Dodaj komentarz »
  1. A co to jest eponim?
    Od 20 lat zajmuję się statystyką w kontroli jakości ale jakoś o nie się nie potknąłem. Za moich studiów widocznie go jeszcze nie wymyślono.
    I wcale nie jest to złośliwa krytyka. Raczej lenistwo bo Wikipedia wie.
    A tak w ogóle to dziękuję za uchylenie drzwi, które wydawały mi się być dawno zamknięte. Ten Kołmogorow czy Mendelejew o których żaden bardzo mądry nigdy nie wspomni to jak… Ach!

  2. …bo eponim to nie termin ze statystyki, tylko leksykologii albo innej leksykografii. Eponim to nazwa własna, której użyto do nazwania innego pojęcia. Nazwisko „Kołmogorow” jest eponimem dla „złożoności Kołmogorowa” i „testu Kołmogorowa(-Smirnowa)”.
    Nic niezwykłego w tym, że będąc specjalistą od statystyki, nie zna się pojęcia eponim. Z kolei, zajmując się eponimami, niekoniecznie musi się dużo wiedzieć o statystyce. Zaryzykowałby stwierdzenie, że między znajomością pojęć „eponim” i „test Kołmogorowa” jest ujemna korelacja.
    O eponimach wiedzą jednak np. osoby zajmujące się historią nauki. Eponimem jest przecież Pitagoras (dla twierdzenia), Alzheimer (dla choroby) czy Merkator (dla odwzorowania kartograficznego). Specyficznym pojęciem znanym wśród miłośników muzyki rozrywkowej jest „płyta eponimiczna”. To taka płyta, która ma tytuł taki sam, jak wykonawca. Np. „czarna płyta” Metalliki czy „biała płyta” The Beatles. W zasadzie”Abbey Road” też ma w sobie eponim (nazwę własną ulicy), ale w tym ujęciu płytą eponimiczną nie jest.

  3. Nie zgadłbym po początku, kto jest autorem tego wpisu 🙂 Ciekawy temat.

    Rzeczywiście 1) i 3) można opisać prostym wyrażeniem (A x,y ~ xRy), (A x,y xRy), 2) to już przynajmniej 2 formułki.

    I potwierdzam, nie będę poprawiał, w przypadku pi przynajmniej jedna wartość musi być niewymierna. Iloczyn liczb wymiernych jest liczbą wymierną (tworzą one z dodawaniem i mnożeniem ciało). Co więcej, Pi nie tylko nie jest wymierna, ale nie jest algebraiczna, tzn. nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych taki, że pi jest jego rozwiązaniem (np. pierwiastek z 2: x*x – 2 = 0). Ale przybliża się ją raczej szeregami (Euler to lubił).

  4. Dziękuję za wyjaśnienie.
    Moje pytanie w żadnym wypadku nie było krytyką tego świetnego tekstu. Uznanie.
    Natomiast smętnie nastraja mnie to, że użyto tricku żeby Nash dostał nagrodę i podobnie użyto tricku żeby Mendelejew jej nie dostał.

css.php