Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców

29.04.2014
wtorek

Co się czym przybliża

29 kwietnia 2014, wtorek,

Granica Excela w nieskończoności

Tym razem o nieskończoności. Nieskończoność to piękna rzecz.

Wybitny matematyk Wacław Sierpiński ma na swoim grobie w Alei Załużonych na Powązkach napis „Badacz nieskończoności”. Prawdziwe, aktualne nieskończoności w matematyce to dzieło Georga Cantora, a opinia o nim Davida Hilberta jest zawarta w słowach „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können” [z raju, jaki stworzył nam Cantor, nikt nie powinien móc nas wypędzić].

Większość ludzi wyobraża sobie, że skromna skończoność naszego świata doczesnego jest jakimś marnym przybliżeniem wspaniałej idei nieskończoności, że w dumnym napisie

lim_{n\to\infty}a_n=g
ważna jest granica g a poszczególne wyrazy ciągu są mniej istotne i mają znaczenie tylko jako kolejne przybliżenia g.  Ten neoplatoński w swojej istocie pogląd jest chyba odruchowy u wielu matematyków, ja w każdym razie też go silnie odczuwam.

Jednak w informatyce jest wręcz odwrotnie: na ogół to nieskończoność jest traktowana jako dogodne,  upraszczające wiele problemów przybliżenie skończoności.

Wiem, że ten pogląd brzmi na pierwszy rzut oka dziwnie, więc zaraz wyjaśnię. Jako ilustrujący to zjawisko przykład weźmy na warsztat Excela, bo prawie każdy go ma na swoim komputerze i może sam obejrzeć, o ile niekończoność jest prostsza od skończoności.

Arytmetyka liczb naturalnych Excela jest w miarę normalna do okolic liczby n=1,00E+15, czyli jedynki z 15 zerami.

W tym rejonie zaczynają się cuda. Po pierwsze, zdaniem Excela, zachodzi szokująca równość  n+1=n. Ściśle mówiąc, wykonany przez samego Excela test na równość tych liczb zwraca wynik PRAWDA. Co więcej, nawet n+4=n oraz wszystkie liczby pomiędzy n a n+4 są sobie równe (zdaniem samego programu). W następnym kroku okazuje się jednak, że n+5>n. Potem kolejną liczbą większą od n+5 będzie dopiero n+15.

Żeby było trudniej to ogarnąć, nawet dalej zdarzają się przebłyski normalności. Na przykład 10n+50>10n, ale to tylko przebłysk, bo jeśli do 10n dodamy mniej niż 50, to liczba powstała nie będzie się różniła od 10n.

Drugi poziom cudów zaczyna się dziać w okolicy m=9,99E+307.

Na przykład istnieje liczba 1,5m, która wyświetla się jako 1,4985E+308, ale gdy do mniejszej od niej liczby 1,00E+308 spróbujemy dodać 1, to okaże się, że wynik tego dodawania już zdaniem Excela nie istnieje.

Osoba doświadczona zapewne domyśli się, że pierwszy obszar cudów to ten, gdzie Excel przestaje reprezentować liczby dokładnie w postaci binarnej i przechodzi na reprezentację typu cecha i mantysa, co pozwala na przedstawienie dużo większych wartości, ale kosztem błędów zaokrągleń, które manifestują się w postaci anomalnych wyników działań. Drugi obszar to tam, gdzie nawet ten zaokrąglany sposób zapisu liczb w pamięci komputera przestaje wystarczać i arytmetyka się po prostu kończy, a większych liczb Excel już nie ma jak reprezentować.

Co specyficzne, granice pomiędzy sposobami reprezentacji oraz między liczbami reprezentowalnymi i za dużymi, by je reprezentować, są z jakiegoś powodu poszarpane i nieregularne.

Jakim wielkim ułatwieniem dla człowieka próbującego formalnie przanalizować działanie konkretnego arkusza kalkulacyjnego jest w tej sytuacji przybliżenie skończonej arytmetyki Excela arytmetyką nieskończoną, gdzie zawsze wykonalne są wszystkie zwykłe działania i gdzie dla każdej liczby naturalnej n zachodzi n+1>n. Formalne rozumowanie o takim przybliżonym modelu prawdziwego programu jest dużo prostsze, a jeśli użytkownicy nie będą przesadzać z wprowadzaniem gigantycznych liczb (lub tych bardzo bliskich 0, w rodzaju 1/n), to nic złego się nie stanie.

Jerzy Tyszkiewicz

Ilustracja Joanna Juszczak

Wspomniany na wstępie Wacław Sierpiński to ten sam, którego nazwiskiem posłużono się niegodnie w reklamie rzekomego sposobu na wygrywanie w Lotto.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 57

Dodaj komentarz »
  1. Nie ma w tym nic tajemniczego ani pzrypadkowego. Ani to nie sa wymysly Excela.

    Wszystkei obecne komputery realizuaja standardowa arytmetyke zmiennoprzecinkowa wedlle standardu znanego jako IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754). Ten standard jest dosyc skomplikowy, ale uczy sie go studentow. Facio ktory oparcowal ten standard dostal Nagrode Turinga

    Wypada jeszcze dodac ze Excel pd casu do czasu wyswietla komunikat NaN zamiast liczby co znaczy „No ta Number”.

  2. Tak na marginesie, dokladna analiza arytmetyki Excela jest tutaj

    *http://support.microsoft.com/kb/78113

  3. Dobry jest tez artykul w Wikipedii (co sie nieczesto zdarza)

    *http://en.wikipedia.org/wiki/Numeric_precision_in_Microsoft_Excel

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Jak idzie o neiskonczonosc, to chyba pierwszym badaczem neiskonczonosci byl Galileusz. Zauwazyl on mianowicie, ze musi byc tyle samo kwadratow liczb naturalnych ile jest liczb naturalnych co an owe czasy bylo obserwacja wstrzasajaca zapewne

    Artykul Wikipedii cytuje obszerne fragmenty dziela Galileusza traktujace o tym problemie

    *http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo’s_paradox

  6. Poniewaz zapewne natychmiast bedzie komentarz You Know Who o nieadekwatnosci oraz idiotycznosci matematyki z powodu istnienia idiotycznego I nei majacego nic wspolnego z realnym zyciem pojecia neiskonczonsoci, chcialbym proaktywnie napisac ze niektorzy matematycy tez uwazaja ze bez pojecia nieskonczonosci mozna sie obyc. Problem tylko w scislej definicji pojec „bez” I „obyc”

    W kazdym razie, przeciwnikom nieskonczonosci chcialbym polecic obszerny (160 stron – to juz chyba ksiazka) artykul

    *http://arxiv.org/abs/1204.2193

    Alternative Mathematics without Actual Infinity

    Toru Tsujishita

    (Submitted on 9 Apr 2012 (v1), last revised 13 Jun 2012 (this version, v2))

  7. Excel to jeszcze nic w porównaniu z mnożeniem liczb zmiennoprzecinkowych w JavaScripcie

  8. @A.L.
    Co do oczywistej wręcz nieadekwatnosci oraz wręcz idiotycznosci (twoje okreslenie, A.L) matematyki z powodu istnienia tego wręcz idiotycznego i nie majacego przecież nic wspolnego z realnym życiem pojecia nieskonczoności:
    1. Nasz (Wszech)świat jest skończony w czasie i przestrzeni, a więc ma on skończone wymiary w czasie i przestrzeni (czasoprzestrzeni), skończoną ilośc atomów (generalnie cząstek elementarnych) etc. Z tego prosty wniosek, że nieskończonośc po prostu nie istnieje, gdyż stnieć ona nie może.
    2. Pojęcie nieskończonosci jest także wewnętrznie sprzeczne, gdyż nie dość że nieskończoność plus dowolnie wielka liczba to jest także nieskończoność, to na dodatek mamy wiele rodzajów nieskończoności. Z tego to właśnie powodu pewien wybitny matematyk, spec od nieskończoności (a zwał się on Cantor, jakby kto się pytał), to zwyczajnie stracił rozum, i to nie byle jaki rozum.
    3. Zgoda że niektorzy matematycy też uważają ze bez pojęcia nieskończoności można sie obyć. Problem nie jest tu w scislej definicji pojęć ?bez? i ?obyć?, a tylko w tym, iż nieskończonośc jest po prostu bytem zbędnym, a te, jak wiadomo, traktujemy pewną, dobrze filozofom znaną, brzytwą.
    Szalom!

  9. Kontinuum (nieskończoną podzielność liczb rzeczywistych) znali na pewno pitagorejczycy, więc idea nieskończoności jest stara. Nieskończona podzielność materii tez wydaje się oczywista, chociaż nie jest akceptowana przez nauki ścisłe. Może „ścisłe” oznacza „skończone”?

  10. @mpn: Java Script ma taka sama arytmetyke zmiennoprzecinkowa jak kazdy inny

  11. @A.L. Oczywiście istnienie ścisłej specyfikacji arytmetyki Excela nie podlega wątpliwości. Tylko że dla potrzeb rozumowania o sposobie działania zwykłego arkusza odwołanie się do niej jest zabójcze i nikt, kto nie chce się posługiwać ektremalnymi liczbami tego nie robi.

    @kagan
    Taki argument o wewnętrznej sprzeczności pojęcia nieskończoności nie działa. A czy jest zbędna? Ja z prawdziwą radością i pożytkiem się nią posługuję i bez niej źle by mi było. W mojej ocenie jest mniej więcej tak zbędna, jak zbędna jest ludzkości kultura i cywilizacja. Czyli można sobie bez niej wyobrazić życie, tylko co ty by było za życie?

  12. @kagan: Zatem mamy skonczona ilosc liczb naturalnych. Skoro skonczona, istnieje liczba najwieksza. Prosze nam podac te liczbe

  13. @J.Ty: Osobliwosci arytmetyki zmiennoprzecinkowej dotycza nie tylko wielkich liczb, ale I calkiem normalnych. Ilu zjadaczy chleba wie ze 0.1 + 0.2 nie rowna sie 0.3? Neiestety, ciagle widze prace studenckie w ktorych liczby zmiennoprzecinkowe porownuje sie przy pomocy ==.

    Edukacja w zakresie arytmetyki komputerowej nawet na wydzialach informatycznych traktowana jest „per noga”. A na innych – w ogole nie jest traktowana. Co moze prowadzic do roznych neiszczesc,w rodzaju utraty pieniedzy czy niekiedy utraty zycia.

    Jedno z wielu zrodel dokumantujacych takie przypadki

    *http://cs.fit.edu/~ryan/library/Some_disasters_attributable_to_Numerical_Analysis.pdf

  14. Sorry, ale ten artykuł jest dość dyletancki:
    * To nie Excel, tylko standard IEEE 754, przyjęty m.in. na procesorach x86 oraz na większości innych.
    * Liczba zmiennoprzecinkowa podwójnej precyzji jest w nim kodowana za pomocą 52 bitów mantysy, 11 bitów wykładnika i bitu znaku. Stąd dokładność dodawania jedynki kończy się w okolicach 2^52 = 4,5e15 (a nie 1e15 jak napisali autorzy), a największa liczba to 1,8e308. Ale na tym 1e15 nie ma żadnej granicy, gdyby swoje testy przeprowadzali dodając 0,1 a nie 1, to pierwsze problemy zaobserwowaliby rząd wielkości wcześniej. Nie jest też prawdą, że „pierwszy obszar cudów to ten, gdzie Excel przestaje reprezentować liczby dokładnie w postaci binarnej i przechodzi na reprezentację typu cecha i mantysa”. Excel cały czas przedstawia liczby w postaci cechy i mantysy i jest to właśnie postać binarna.
    * Co to znaczy, że w informatyce „nieskończoność jest traktowana jako dogodne, upraszczające wiele problemów przybliżenie skończoności”? No nie. Plus i minus nieskończoność w informatyce to specjalne stałe w standardzie IEEE 754, która powstają na przykład gdy się coś podzieli przez zero. Niczego nie upraszczają, a autorzy ich w ogóle nie dotknęli.
    * I co to ma wspólnego z matematyczną nieskończonością i Sierpińskim? W matematyce jest dużo różnych nieskończoności (patrz np. liczby kardynalne i liczby porządkowe), są na nich zdefiniowane działania, jest cała dziedzina badań (teoria mnogości), faktycznie Sierpiński się tym zajmował, tylko nijak się to ma do liczb w komputerach. Super jest notka na końcu „Wacław Sierpiński to ten sam, którego nazwiskiem posłużono się niegodnie w reklamie”. Rozumiem, że to główna rzecz, z którą jest kojarzony poza Excelem.

  15. @Olaf Matyja: „tylko nijak się to ma do liczb w komputerach.”

    Moze neizupelnie, bo jednak Sierpinski zajmowal sie calkiem konkretnymi rzeczami. Napisal na przyklad ksiazke Teoria Liczb (angielski tytul Elementary Theory of Numbers) ktora przyda sie kazdemu zajmujacemu sie obliczeniami.

    Ksiazke mozan sciagnac ze strony Biblioteki Matematycznej

    *http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=19&wyd=10&jez=pl

    Angielska wersja tutaj jakby ktos chcial

    *http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=42&wyd=10&jez=pl

    Tamze inne, bardzo praktyczne podreczniki Sierpinskiego. Mimo ze stare, ciagle aktualne I absolutnie doskonale dydaktycznie

  16. @A.L.
    Tylko że teoria liczb w matematyce wbrew nazwie nie zajmuje się ogólnie liczbami, tylko głównie podzielnością liczb naturalnych. Nie ma nic wspólnego z definicjami liczb oraz działaniami na nich (to jest algebra), ani z reprezentacją liczb rzeczywistych w Excelu, ani nawet z obliczeniami na komputerze (tym zajmuje się teoria obliczeń). Jeśli już informatykowi jest potrzebna teoria liczb, to nie komuś od obliczeń, tylko kryptografom i specjalistom od zabezpieczeń.

  17. @Olaf Matyja: „Co to znaczy, że w informatyce ?nieskończoność jest traktowana jako dogodne, upraszczające wiele problemów przybliżenie skończoności??

    Zdarza sie ze opis ciagly jest dogodniejszy do analizy niz opis dyskretny. Na ogol jest odwrotnie – od opisu ciaglego, aby pzreprowadzic analize, przechodzimy do opisu dyskretnego. Tak jest na przykald w przypadku rownan rozniczkowych – rownania rozniczkowe traktuja o funkcjach, ktorych to funkcji nie da sie inaczej przedsatwic w kompuetrze jak poprzez operacje dyskretyzacji. Wiec zamiast rownan rozniczkowych, komputer rozwiazuje roznania roznicowe.

    Natomiast niekiedy oplaca sie isc w odwrotna strone. Praktyczny przypadek – modelowanie ruchu na autostradzie. Modele sa bardzo skomplikwoane bo musza uwzglednaic relacje miedzy tysiacami dyskretnych samochodow. Jezeli jednak przyjmie sie zalozenei ze samochodow jest nieskonczona ilosc, I zacznie sie operowac ciaglym pojeciem „gestosci samochodow na jednostke dlugosci”, owe skomplikwoane modele sprowadzaja sie do calkiem prostego rownanaia rozniczkowego czastkowego.

    Taki process „uciaglania” – czyli przechodzenia od opisu dyskertnego, ale skonczonego do opisu ciaglego, z definicji neiskonczonego jest dosyc standardowym podejsciem w analizie wielu problemos

  18. @A.I.
    No owszem, czasem łatwiej problem przedstawić w postaci ciągłej, czasem w dyskretnej. Komputery znają tylko postać dyskretną, stąd nawet liczby rzeczywiste są przedstawiane jako ciąg dyskretnych bitów. W jaki sposób takie przedstawienie ma być „nieskończonością traktowaną w informatyce jako dogodne przybliżenie skończoności”?

  19. @ A.L.
    Znaczy że to wszędzie tak działa? Nie mozna by tego poprawić?

    PS A żeby częściej się w Wikipedii dobre arty zdarzały, musisz je zacząć pisać

  20. @Olaf Matyja: „Jeśli już informatykowi jest potrzebna teoria liczb, to nie komuś od obliczeń, tylko kryptografom i specjalistom od zabezpieczeń”

    Oczywiscie, nei kazdemu informatykowi poztrebna jest teoria liczb. Ale proponuje wziac dowolna ksiazke z „Computer Artithmetic” w tytule I popatrzec gdzie tam teoria liczb jednak siedzi.

    Oraz poszukac na webie wywiadu z autorem pakietu BigDecimal w Javei I o tym jak sie uczyl „number theory” zeby ten pakiet zaprojektowac. Niestety, niemam linku pod reka, a nie mam czasu szukac

    Propnuje rozniez popatzrec tutaj

    *http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_number_system

    Akurat o tym jest w ksiazce Sierpinskiego (o ile pamiec dopisuje)

  21. @mpn: „Znaczy że to wszędzie tak działa?”

    Znaczy – jak? Arytmetyka realizowana jest spzretowo, wiec tworcy oprogramowania maja maly wybor. Chyba ze cos spieprza

  22. @Olaf Matyja: ” W jaki sposób takie przedstawienie ma być ?nieskończonością traktowaną w informatyce jako dogodne przybliżenie skończoności??”

    Wydaje mi sie ze J.Ty pisal o tym o czym ja napisalem: niekiedy opis neiskonczony jest prostzy I wiecej mowiacy niz opis skonczony. Wypowiedz J.Ty chuba nei byla czysto w kontekscie arytmetyki. Przynajmniej ja tak to odebralem

  23. @A.I.
    Sierpiński badał nieskończoności z teorii mnogości, w rodzaju mocy zbiorów liczb naturalnych i rzeczywistych, które tworzą liczby kardynalne, albo w rodzaju liczb porządkowych, które są klasami izomorfizmu dobrych porządków. To naprawdę nie ma nic wspólnego ani z teorią liczb, ani z floating-point numbers z IEEE 754 ani nawet z tymi nieskończonościami w symbolu granicy. Nie ta książka, u Sierpińskiego nieskończoności są w „Zarysie teorii mnogości” a nie w „Teorii liczb”.

    Klasa BigDecimal z zasady służy do dokładnego reprezentowania wielkich liczb, więc wcale się nie dziwię, że specjalista od teorii liczb gdzie takie wielkie liczby występują był najbardziej zainteresowany jej implementacją. Tylko ani BigDecimal, ani system resztowy nie mają nic wspólnego z IEEE 754 i Excelem.

    Sierpiński zmarł 16 lat przed stworzeniem standardu IEEE 754, zajmował się wielkimi rzeczami, bardzo go cenię, mam na półce jego książki (drukowane nie wirtualne), nie rozumiem tylko po co pakować go do artykułu o liczbach w Excelu, z którymi nie ma nic wspólnego, ot i wszystko. A zwłaszcza, gdy autor sam stwierdza, że nazwisko Sierpińskiego już raz było przez kogoś przylepione do rzeczy z którą nie miał żadnej styczności.

  24. @Olaf Matyja: ” nie rozumiem tylko po co pakować go do artykułu o liczbach w Excelu, z którymi nie ma nic wspólnego, ot i wszystko.”

    Wydaje mi sie ze artykul J.Ty. nie byl o Excelu. Wyaje mi sie ze byl to artykul o reprezenatcji liczb oraz o nieskonczonosci. I o tym ze rezygnacja z neiskonczonosci prowadzi do ograniczen I paradoksow arytmetyki komputerowej. I ze czasem neiskonczonosc moze ulatwic zycie. No, ale kazdy mzoe interpretowac tekst na swoj sposob

    To uklon w strone @kagana: Arytmetyka komputerowa to arytmetyka w ktorej zrezygnowano z neiskonczonosci. No I mamy ze 0.1 + 0.2 nie rowna sie 0.3

  25. @mpn
    Tak. Wszędzie tak działa. I wcale nie jest zepsute, bo tak właśnie ma działać, więc nie trzeba naprawiać. Owszem, da się liczyć dokładniej, z dowolnie dużą dokładnością, na jaką tylko pozwala pamięć (np. używając wspomnianej wyżej klasy BigDecimal), ale nigdy nie będzie to idealna matematyczna dokładność, chyba że komputer liczy na wzorach (np. w pakiecie Mathematica). Tak czy siak, liczenie w jakikolwiek inny sposób niż używając liczb ze standardu IEEE 754 nie jest wspierane sprzętowo, więc zajmuje wieki, zjada pamięć i generalnie jest stosowane tylko w razie absolutnej konieczności. Tak naprawdę nie jest też prawie nikomu potrzebne – matematycy i tak potrzebują na ogół dokładnych liczb których na komputerze nie osiągną, a całej reszcie wystarcza takie przybliżenie, jakie jest w Excelu, ewentualnie rozbudowane o kolejne bajty (long double ma 10 bajtów na x86).
    P.S. No owszem, swego czasu byłem dość aktywny na Wikipedii, może mnie nawet pamiętasz 😉

  26. @A.L.
    No, w zwykłej arytmetyce liczb rzeczywistych też zrezygnowano z nieskończoności, trzeba operacji uzwarcenia, żeby się najprostsze nieskończoności pojawiły, a żeby mieć ich sensowną algebrę to już trzeba liczb nadrzeczywistych (surreal numbers). 😉

    Ok,ja nadal nie rozumiem, dlaczego błędy w obliczeniach Excela pokazują, że nieskończoność jest informatycznym przybliżeniem skończoności, jeśli już to odwrotnie. Nie rozumiem też, czemu ma być wskutek tego prostsza od skończoności. Nie przekonuje mnie też przykład z ciągłością, o której w artykule zresztą nie ma ani słowa. Ale to już rozdzielanie włosa na czworo. Artykuł i tak jest ciekawy, tylko mało ścisły i z pewnymi błędami. Pozdrawiam wszystkich.

  27. @Olaf Matyja: @J.Ty napisal: „Jakim wielkim ułatwieniem dla człowieka próbującego formalnie przanalizować działanie konkretnego arkusza kalkulacyjnego jest w tej sytuacji przybliżenie skończonej arytmetyki Excela arytmetyką nieskończoną, gdzie zawsze wykonalne są wszystkie zwykłe działania i gdzie dla każdej liczby naturalnej n zachodzi n+1>n”

    Jak dla mnie – sens powyzszego jest jak nastepuje – ograniczenia arytmetyki komputerowej sa dla przecietnego uzytkownika przyslowiowym gwozdziem w dooo… I o ile przyjemniesze by bylo zycie gdyby ta arytmetyka byla „zwyczajna” arytmetyka

    Taka w ktorej a + (b +c) rowna sie dokladnie (a + b) + c. Bo w komputerze to juz niekoniecznei tak jest

  28. No dobrze, mówimy o różnych rzeczach. Najwyraźniej przez „arytmetykę nieskończoną” rozumiesz, wraz z autorem artykułu, arytmetykę w której liczb jest nieskończenie wiele. Ja rozumiałem przez to arytmetykę, w której rachuje się na nieskończonościach (liczby porządkowe, nadrzeczywiste…). Ok, zgadzam się, że arytmetyka liczb rzeczywistych (czyli ta „arytmetyka nieskończona”) jest prostsza niż „skończona” arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych z Excela. Tylko że w artykule jest mówione na odwrót – cytuję: „w informatyce (…) na ogół to nieskończoność jest traktowana jako dogodne, upraszczające wiele problemów przybliżenie skończoności”. Czyli wychodziłoby, że według artykułu to właśnie Excel ma „nieskończoną” arytmetykę, która przybliża matematyczne skończoności.

    Poza tym akurat to nie jest największy grzech artykułu – są tam ewidentne błędy, np. stwierdzenie, że Excel nie koduje małych liczb w postaci cechy i mantysy tylko „dokładnie” i 1e15 jest jakąś cezurą, która zmienia ten sposób kodowania. No i wprowadzające laików w błąd ograniczanie się do Excela, które wytknąłeś w pierwszym poście.

    Dobrze, nie ma już co się pastwić nad tym artykułem, kręcimy się w kółko. Autor poświęcił swój czas za co mu chwała, dla większości ludzi to i tak jest bardzo ciekawa sprawa.

  29. @A.L.
    1. To nie jest tak, że arytmetyka komputerowa to jest arytmetyka w której zrezygnowano z pojęcia nieskończoności. Po prostu komputery mają ograniczoną pojemność pamięci, choćby rozmiarami naszego Wszechświata. Poza tym, to operacje na większych liczbach są tam dokonywane w sposób przybliżony, stąd też te rzekome paradoksy, wynikłe po prostu z ograniczeń znanej nam dziś technologii oraz matematyki.
    2. Sierpiński był tylko typowym akademickim matematykiem-teoretykiem. Stąd też nie ma najmniejszego sensu powoływanie się na niego w jakichkolwiek praktycznych dziedzinach wiedzy.
    3. Tak, arytmetyka realizowana jest na komputerach sprzętowo, ale to nie znaczy, że zawsze jest ona realizowana prawidłowo.
    4. Największą liczbą, która ma jakikolwiek sens, jest ilość atomów w naszym Wszechświecie, czyli mniej więcej 10 do 80-tej potęgi (dokladnie pomiędzy 10 do 72 a 10 do 82). Rozważania o większych liczbach to nie jest więc już nauka, a tylko metafzyka i teologia…
    5. Generalnie ? rozważania o nieskończoności mają więc dokładnie taki sam (bez)sens jak rozważania o Bogu, a więc nie należą one do matematyki, a tylko do metafizyki oraz teologii.
    Szalom!
    @J.Ty.
    Dla mnie, jak to już pisałem, nieskończonośc jest zwyczajnie bytem zbędnym, wręcz utrudniającym życie, niepotrzebnie komplikujacym matematykę, a za nią także i fizykę, a więc także naukę i co gorsza źródłem błędów, przeszwyciężanych w praktyce różnymi pseudonaukowymi metodami z tzw. renormalizacją na czele.
    Szalom!
    @Meruńka
    Nieskończona podzielność materii wydaje się oczywista tylko dla umysłów słabo wykształconych. Ale dziwię się, że wykształcone umysły tak czesto nie widzą bezsensu pojecia nieskończoności.
    @Olaf Matyja
    Przykro mi, ale twoje wpisy nic tu nie wnoszą, a tylko zaciemniają obraz osobom słabiej zorientowanym w temacie. Ty po prostu widzisz pojedyncze drzewa, ale nie zauważasz lasu…
    Szalom!

  30. @ Olaf Matyja
    W kontekście tego różnego rozumienia nieskończoności: gdzieś słyszałem o nieskończoności potencjalnej i aktualnej.
    Swoją drogą w tej aktualnej to chyba za wiele nie można policzyć, tylko 2^N coś zmienia?
    PS Kojarzę. Aczkolwiek arty matematycznie na Wiki jakoś nie rzucają się w oczy. W Tygodniu Nauki lecieliśmy głównie biologią lub medycyną

  31. Liczba atomów we Wszechświecie…
    Ciekawe, a wiesz, ile jest możliwych konformacji cząsteczki białka? Każde wiązanie peptydowe to 2 możliwości. A to tylko podtawa.
    Aha, a ciekawe, czy wedle twej opinii ilość mozliwych stanów, w jakich mogą znajdować się te atomy, jest już poza zasięgiem nauki? A może obliczenia takie są zakazane?
    O osobliwościach też może nie słyszałeś. W latach 30 zapadnięcie się gwiazdy do punktu o nieskończonej gęstości rzeczywiście wydawało się niemożliwe, ale od tamtych czasów nauka się zmieniła.

  32. @kagan
    No właśnie widzę las, widzę przestrzeń liczb rzeczywistych, która stanowi spójny obiekt tylko jeśli się jej nie ogranicza. Jeśli ją ograniczysz, to musiałbyś za każdym razem przy każdym działaniu sprawdzać czy czasem nie wychodzisz poza założony sztucznie zakres. Oczywiście tego nie będziesz robił, domyślnie przyjmując że liczb ich nieskończenie wiele i twierdząc coś przeciwnego. Jestem zaskoczony, że jako wykształcony człowiek, tego nie zauważasz.

    Widzę też twierdzenia o całkiem skończonych liczbach, które można udowodnić tylko, jeśli się po drodze przejdzie przez granicę w nieskończoności. Nawet w fizyce takie twierdzenia są, na przykład wszystkie powszechnie przyjęte definicje masy w ogólnej teorii względności (Komara, AMD, Bondiego) odwołują się do granicy w nieskończoności. Rozkłady na nieskończone szeregi (np. Taylora) są stosowane w wielu praktycznych zastosowaniach, w fizyce, elektronice…

    Może i dałoby się to wszystko usunąć (cokolwiek by to usunięcie miało oznaczać?), ale ja wolałbym, żeby mi empetrójki jeszcze działały, a w kompresji MP3 jest użyta m.in. szybka transformata Fouriera, wyprowadzana za pomocą szeregów nieskończonych. 😉

  33. @mpn
    Potencjalna to ta o symbolu ?. Na samej potencjalnej nic nie policzysz, ale bazują na niej granice do nieskończoności, którymi się liczy całkiem sporo.
    Nieskończoność aktualna, to albo liczby kardynalne, albo porządkowe. W kardynalnych faktycznie dodawanie i mnożenie za dużo nie daje, dopiero zbiór potęgowy, ale już liczby porządkowe dają się całkiem nieźle liczyć, na przykład liczb naturalnych jest ?, i są też takie liczby porządkowe, jak ?+1, ?+2… Aczkolwiek nieskończoność aktualna to już faktycznie abstrakcja, tyle że abstrakcja konieczna, żeby się fundamenty matematyki nie rozjechały.

  34. Ech, blog daje znaki zapytania zamiast znaczków unicode, więc zamieszczam erratę do znaczków w moim ostatnim poście:
    @mpn
    Potencjalna to ta o symbolu przewróconej ósemki. Na samej potencjalnej nic nie policzysz, ale bazują na niej granice do nieskończoności, którymi się liczy całkiem sporo.
    Nieskończoność aktualna, to albo liczby kardynalne, albo porządkowe. W kardynalnych faktycznie dodawanie i mnożenie za dużo nie daje, dopiero zbiór potęgowy, ale już liczby porządkowe dają się całkiem nieźle liczyć, na przykład liczb naturalnych jest omega, i są też takie liczby porządkowe, jak omega+1, omega+2? Aczkolwiek nieskończoność aktualna to już faktycznie abstrakcja, tyle że abstrakcja konieczna, żeby się fundamenty matematyki nie rozjechały.

  35. @kagan: „Tak, arytmetyka realizowana jest na komputerach sprzętowo, ale to nie znaczy, że zawsze jest ona realizowana prawidłowo.”

    Ma Pan lepsza propozycje?

    „Największą liczbą, która ma jakikolwiek sens, jest ilość atomów w naszym Wszechświecie, czyli mniej więcej 10 do 80-tej potęgi (dokladnie pomiędzy 10 do 72 a 10 do 82). Rozważania o większych liczbach to nie jest więc już nauka, a tylko metafzyka i teologia?”

    No I ja do tej Panskiej liczby dodam 1. I co dalej?

  36. @A.L.
    1. Mam tylko ropozycję lepszej (szczeólnie zaś inteligentniejszej) jej implementacji na lepszym sprzęcie.
    2. Wtedy ta liczba straci sens. Dokładnie straci swój sens w momencie, kiedy nie będzie ona już reprezentować żadnego realnego zjawiska (przy czym za B. Russelem za zjawiska uważam też tzw.przedmioty).
    3. Last but not least: Uprzejmie proszę mnie nie tytułować Panem, jak iż nie chcę być (szczególnie dziś, czyli 1 maja) kojarzony ze szlachtą, która wzbogaciła się na okrutnym, niemalże przecież niewolniczym wyzsysku włościan oraz z polskimi przedwojennymi politykami, co tak tchórzliwie uciekli z Polski we wrześniu 1939 roku, po czym wywołali tragiczne przecież w skutkach Powstanie Warszawskie po czym długo jeszcze szkodzili Polsce z Londynu.
    Szalom!

  37. @mpn
    1. Cząstka białka może przyjmować tylko skończoną ilośc swych możliwych postaci
    2. Podobnie atom czy też cząstka elementarna może znajdowac się tylko w ściśle określonych stanach, a więc ich liczba jest też skończona.
    3. Dziś nawet S. Hawking wątpi w istnienie tzw. czarnych dziur (przynajmniej jako punkty o nieskończonej gęstości materii). Generalnie: jeśli w fizyce otrzymujemy nieskończonośc, to znaczy, że mamy błąd.
    Szalom!

  38. @A.L. Dziękuję!

    @Wszyscy zmęczeni znakami zapytania zamiast sensownych symboli: na górze strony jest krótka instrukcja pisania komentarzy.

  39. @Olaf Matyja
    1. Matematyka ma tylko wtedy sens, jeśli odnosi się ona do realnego, fizycznego świata. Inaczej, to staje się ona tylko czymś w rodzaju religii.
    2. Zawsze zakładałem, że istnieje największa liczba, przy czym zakładałem, że jest ona tak wielka, że praktycznie niemożliwa do osiągnięcia, a więc nie jest prawdą, że należy koniecznie przyjmować, iż liczb jest nieskończenie wiele. Co więcej, jeśli w fizyce otrzymujemy nieskończoność, to znaczy, że popełniliśmy błąd (o czym napisałem także mpn).
    3. Fizyka ma przecież poważne problemy z nieskończonościa, którą zawalcza ona przy pomocy mocno przecież nienaukowej metody renormalizacji. Ale to jest temat na osobną dyskusję.
    4. Przypominam także, ze atronomia przedkopernikańska, oparta przecież na kompletnie błędnych, geocentrycznych założeniach, dawała dość dobre praktyczne wyniki, np. dość dokładne przewidywanie zaćmień słońca. Dopiero model Keplera dawał lepsze wyniki niż model oparty na tzw. epicyklach!
    5. Matematyka oparta jest na mocno chwiejnych fundamentach arbitralnie przyjętych pewników, które są przecież nie do udowodnienia przy pomocy metody naukowej (empirycznej). Stąd też matematyce bliżej jest do filozofii (szczególnie zaś metafizyki) i teologii niż do nauki (szczególnie w znczeniu science). Dziwią mnie wieć te naukowe pretensje ze strony matematyków, którym bliżej jest przecież do filozofów i teologów niż np. inżynierów.
    6. Generalnie ? proszę podejść krytyczniej do posiadanej przez siebie wiedzy. Nauka przecież wciaż więcej nie wie niż wie, i dobrze, jako iż w ten sposób to ona ma wciaż szansę rozwoju!
    Szalom

  40. J.Ty.
    A nie lepiej by było dostosować łóżko do człowieka niż człowieka do łóżka?

  41. @kagan
    Niebytwiem, do czego odnieśc ten slogan: do matematyki czy do kwestii pisania komentarzy?

  42. @ kagan
    O, widzę, że przestałeś mówić o maksymalnej liczbie, która ma sens. Jest postęp.
    Co do białka, skończona jest ilość wyróżnianych konformacji.
    Już zwykła cząsteczka etanu może przyjąć konformację naprzemianległą i naprzeciwległą. Z jakim prawdopodobieństwem je przyjmie i dlaczego?

    Aha, z tą nieskończonością w fizyce, już pisałem, że tak myślano w latach 30. Od tego czasu fizyka, w tym astrofizyka, jest zupełnie inna.

  43. @kagaN „Przypominam także, ze atronomia przedkopernikańska, oparta przecież na kompletnie błędnych, geocentrycznych założeniach, dawała dość dobre praktyczne wyniki, np. dość dokładne przewidywanie zaćmień słońca. Dopiero model Keplera dawał lepsze wyniki niż model oparty na tzw. epicyklach!”

    Znow Pan pisze nonsensy. Model Ptolomeusza byl ta samo dobry/tak samo bledny jak model Kopernika. Wprowadzajac dostatecznie duza ilsoc epicykli, KAZDY model, z dowolnym punktem odneisienai uczynic mozan dowolnie dokladnym.

    Model Kopenika byl prostszy obliczeniowo niz model Ptolomeusza, model Keplera byl prostszy niz model Kopernika. Ale model Keplera tez nie jest calkowicie dokladny – planety nie poruszaja sie po elipsach

    „Matematyka ma tylko wtedy sens, jeśli odnosi się ona do realnego, fizycznego świata. Inaczej, to staje się ona tylko czymś w rodzaju religii.”

    Dla Pana. Dla innych niekoneicznie. Realna ilosc mozliwych drog w problemie komiwojazare a 50 miastami jest 10^100. Wiecej niz Panska „najwieksza liczba’. Czy nei wolno mi operowac takimi liczbami?

    „Mam tylko ropozycję lepszej (szczeólnie zaś inteligentniejszej) jej implementacji na lepszym sprzęcie”

    Swiat oczekuje propozycji

    Jak idzie o tytulowanie: calkiem niewiele osob osiagnelo przywilej bycia ze mna na „ty”

  44. @A.L.
    1. Nie jest prawdą, że model Ptolomeusza byl ta samo dobry/tak samo błędny jak model Kopernika. Po prostu Słońce ma o wiele wiekszą masę niż Ziemia, a więc to Ziemia krąży wokół Słońca, a ne na odwrót. Planety poruszają się zaś po orbitach zbliżonych do elipsy – Zamknięte orbity mają kształt elipsy (w szczególnym przypadku okręgu; pl.wikipedia.org/wiki/Orbita).. Poza tym model Kopernika/Keplera jest znacznie prostszy, a więc epicykle wycinamy brzytwą Ockhama. Polecam więc (ASAP) powrót do szkoły średniej.
    2. Co tu mają do rzczy owe możliwe drogi w probleme komiwojażera, skoro ogromna ich większość jest wyraźnie suboptymalna i odpada tym samym w przedbiegach? Poza tym, to w relanym życu te trasy muszą być często modyfikowane ad hoc, jako iż jedne zamówienia są kasowane, a inne się pojawiają na ich miejsce.
    3. Nie jestem specjalistą od mikroprocesorów. To im powierzam to zadanie.
    4. Rozumiem, że w USA wszyscy koledzy oraz studenci ytytułują ciebie zawsze per sir. .-) A na serio ? raz tylko w życiu pracowałem w firmie (ubezpieczeniowej, jakby się kto pytał), gdzie prezesa tytułowano sir (tu jego imię) ale tylko dla tego, że on rzeczywiście posiadał ten brytyjski tytuł.
    Szalom!

  45. @J.Ty.
    To nie jest slogan, a odnosi się to głównie do oprogramowania tego blogu, które należy dostosować do komentarzy pisanych w standarcie Worda, a nie na odwrót, czyli format komentarzy dostosować do standardów oprogramowania tego blogu. Nos dla tabakiery, czy tabakiera dla nosa?
    Szalom!
    @mpn
    1. Nie, nie przestałem mówić o maksymalnej liczbie, która ma sens. Powtarzam więc raz jeszcze, że matematyka ma tylko wtedy sens, jeśli odnosi się ona do realnego, fizycznego świata. Inaczej, to staje się ona tylko czymś w rodzaju religii, a największą liczbą, która ma jakikolwiek sens, jest ilość atomów w naszym Wszechświecie, czyli mniej więcej 10 do 80-tej potęgi (dokladnie pomiędzy 10 do 72 a 10 do 82). Rozważania o większych liczbach to nie jest więc już nauka, a tylko metafzyka i teologia…
    2. Elektron w atomie może przyjąc tylko ściśle określone poziomy energetyczne (tzw. orbity). I co z tego do tematu naszych rozważań?
    3. Astrofizyka wciąż się zmienia. Dawniej myslano, że czarnych dziur nie da się zaobserwować, a dziś wiemy, że wydzielają one promieniowanie (tzw. promieniowanie Hawkinga), a więc nie są one wcale czarne. Chodzi tu o to, że jeżeli nic nie może się z czarnej dziury wydostać, a dokładniej z horyzontu zdarzeń czarnej dziury, to takie grawitacyjne obiekty byłyby wieczne i wraz z czasem coraz potężniejsze, aż wchłonęłyby całą materię we Wszechświecie, a w końcu pochłonęłyby siebie, co prowadzi do oczywistego paradoksu, kolejnego paradoksu związanego z nieskończonością (więcej np. tu:/pl.wikipedia.org/wiki/Promieniowanie_Hawkinga).
    Szalom.

  46. @kagan: Nie jest prawdą, że model Ptolomeusza byl ta samo dobry/tak samo błędny jak model Kopernika. Po prostu Słońce ma o wiele wiekszą masę niż Ziemia, a więc to Ziemia krąży wokół Słońca, a ne na odwrót. Planety poruszają się zaś po orbitach zbliżonych do elipsy ? Zamknięte orbity mają kształt elipsy (w szczególnym przypadku okręgu; pl.wikipedia.org/wiki/Orbita).. Poza tym model Kopernika/Keplera jest znacznie prostszy, a więc epicykle wycinamy brzytwą Ockhama. Polecam więc (ASAP) powrót do szkoły średniej”

    A ja Panu polecam powrot do przedszkola. Aurat tam w takim stylu prowadzi sei dyskusje.

    ” Po prostu Słońce ma o wiele wiekszą masę niż Ziemia, a więc to Ziemia krąży wokół Słońca, a ne na odwrót”

    Podobnego nonsense dawno nei czytalem

    „Zamknięte orbity mają kształt elipsy ” To tez klasyfikuje jak wyzej

  47. gan: „Rozumiem, że w USA wszyscy koledzy oraz studenci ytytułują ciebie zawsze per sir. .-) A na serio ? ”

    Na serio – studenci mowia do mnie „professor”. A z kolegami jestem po imieniu. Ale Pan nie jest moim kolega.

    Jeszcze raz: na ty jestem z osobami co do ktorych zywie szacunek I respekt. I do mnei nalezy wybor.

  48. @kagan: ” Zamknięte orbity mają kształt elipsy (w szczególnym przypadku okręgu; pl.wikipedia.org/wiki/Orbita).. Poza tym model Kopernika/Keplera jest znacznie prostszy, a więc epicykle wycinamy brzytwą Ockhama”

    Proponuje aby sie Pa nzapoznal z modelem Kopernika. Jak najbardziej wymaga on epicykli. Nei ma modelu Kopeprnika/Keplera. Jest model Kopernika I zupelnie inny model Keplera.

    Nei jest parwda ze planet poryszaja sie po elipsach. Sa mocne argumenty za tym ze Uklad SLoneczny jest ukladem chaotycznym. Poza tym w ogolnym pzrypadku rozwiazanei problemu wielu cial mzoe meic orbity zupelnie w niczym nei prypominajace elips, ani nawet nei bedace krzywymi zamknietymi

  49. @kagan:
    To nie jest slogan, a odnosi się to głównie do oprogramowania tego blogu, które należy dostosować do komentarzy pisanych w standarcie Worda, a”

    Word nie jest zadnym standardem

  50. @kagan: „największą liczbą, która ma jakikolwiek sens, jest ilość atomów w naszym Wszechświecie, czyli mniej więcej 10 do 80-tej potęgi ”

    A dlaczego nei ilosc protonow? Albo neutronow? Albo elektronow? Albo kwarkow? Albo neutrin?

  51. @A.L.
    1. Polecam Wikipedię (artykuł o orbitach planet) oraz krótki spacer dla ochłonięcia.
    2. W USA, tak samo jak np. w Australii, studenci zwracają się do wykładowców, łącznie z tamtejszą profesurą (w tym także Nobliści), per ty (you). Widać więc, że w USA przebywasz tylko w swych marzeniach. 😉
    3. My tu mowimy o orbitach planet w Układzie Słonecznym, a one są jak najbardziej eliptyczne.
    4. Zaś chaos, to ty masz w swej głowie. 😉
    5. Niestety, ale Word for Windows jest dziś de facto światowym standardem w tzw. word processingu. 🙁 Mnie to się też nie podoba, ale co z tego?
    Szalom!

  52. @A.L.
    Tu przecież chodzi głównie o rząd wielkości. Może być też ilość superstrun, albo też ich łączna długość w mikronach, jak kto woli. 😉 Chodzi tu głównie o to, że są dziś uzywane w matematyce liczby nie majace żadnego fizycznego sensu, a więc nie należące do nauki, a tylko do filozofii, teologii oraz religii.
    Szalom!

  53. @kagan: ” W USA, tak samo jak np. w Australii, studenci zwracają się do wykładowców, łącznie z tamtejszą profesurą (w tym także Nobliści), per ty (you). ”

    Zdaje sie ze Ameryke zna Pan z krotkiego okresu pracy w American University na Cyprze. Ale to, wie Pan, nie Ameryka… Wszyscy zwracaja sie do wszystkich „you” bo w angielskim nei ma „Pan”, ale jest wiele sposobow uzycia tego „you”.

    „Niestety, ale Word for Windows jest dziś de facto światowym standardem w tzw. word processing”

    Wsrod ekonomistow z SGPiS

    „My tu mowimy o orbitach planet w Układzie Słonecznym, a one są jak najbardziej eliptyczne.”

    W przyblizeniu eliptyczne. Pare planet odkryto analizujac odchylenia orbit znanych planet od scisle eliptycznych

    „Zaś chaos, to ty masz w swej głowie”

    Juz wielokrotnie dal Pan dowod ze o teorii chaosu nie ma Pan zielonego pojecia

    P.S> Wiecej Panskich bzdur nie bede komentowal. Zegnam PANA

  54. @A.L.
    1. Amerykę znam z rocznego tamże pobytu. Co prawda pracowałem wówczas w sektorze prywatnym (IT) a nie na uniwersytecie, ale zwyczaje panujące na anglojęzycznych uniwersytetach znam także z Australii, NZ, RPA oraz UK.
    2. Tak, jest wiele sposobów używania tego you, ale nikt w USA nie zwraca się do proferora wyższej uczelni per professor.
    3. Word for Windows jest dziś de facto światowym standardem w tzw. word processing takze i na SGH.
    4. W praktyce, to w przyliżeniu eliptyczne znaczy eliptyczne. Tak samo jak około 0.1 mm w inzynierii wynosi w praktyce 0.1 mm.
    5. Proszę się nauczyć, co oznacza żart oraz ironia oraz nie mylić chaosu z anarchią oraz bałaganem.
    6. Zaznaczam, że nastepne publiczne wyzwanie mnie od Pana oznaczać będzie proces o zniesławienie, jako iż nie chcę mieć nic wspólnego z tymi, którzy długie lata żyli z niewolniczej wręcz pracy innych ludzi oraz już conajmniej dwa razy (wiek XVIII i XX) odebrali Polsce niepodległość. Proszę wziąć te słowa na serio.
    Szalom

  55. Ludzie, ochłońcie trochę. Niemiło się robi.

  56. @mpn
    Przyznaję, że zagalopowałem się nieco za bardzo, ale mam dośc tego mentorskiego tonu A.L. i jego obsesji na tle tytułomanii oraz USA.
    Szalom!

  57. @kagan, @A.L.

    Dyskusja Panów zabrnęła w rejony osobistych wycieczek. Aby ułatwić Panom ochłonięcie zablokowałem Panom możliwość komentowania pod tym wpisem.

  58. A ja nie mam kalkulatora, jak chcę coś policzyć to mam Pari/gp.

css.php