Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców niedowiary - blog (szalonych) naukowców

5.02.2011
sobota

Kokos i Steinhaus

5 lutego 2011, sobota,

Niedawno w moim supermarkecie pojawiła się dostawa kokosów. Kupiłem jednego i nie bez trudu rozpiłowałem. Wszystkim smakował, kupiłem więc ponownie i znowu męczyłem się z piłą – dokumentuje to zdjęcie nad tekstem. Skorupa orzecha jest naprawdę twarda, nawet dobrą piłą walczyłem całkiem długo.
Wtedy zacząłem się zastanawiać, jak by można sobie oszczędzić wysiłku. Narzucający się pomysł, to wybrać takie miejsce, żeby było jak najmniej do przepiłowania, czyli najmniejsza powierzchnia przekroju skorupy (jądro jest tak miękkie, że można je zaniedbać). Piłując wzdłuż umownego równika ma się długie cięcie, ale prostopadłe do skorupy, czyli niewielkiej grubości. Wybierając równoleżniki bliższe bieguna, mamy krótsze cięcie, ale skorupa jest nachylona pod kątem i trzeba przepiłować grubszą warstwę twardej substancji. Który z tych efektów dominuje?


Szybko wymodelowałem kokos jako wydrążoną kulę o ściance stałej grubości, którą należy przeciąć płaszczyzną. Po chwili nietrudnych rachunków wyszło to, czego się intuicyjnie spodziewałem: jeśli tylko przekrój przechodzi przez wnętrze, to jego powierzchnia jest zawsze taka sama, bez względu na to, gdzie się wybierze płaszczyznę cięcia.
To o kokosie.

Teraz Hugo Steinhaus.
„Wiara w absolutną wartość matematyki łączy się z wiarą w istnienie przedmiotów matematycznych, takich jak liczby, funkcje, punkty, zbiory lub powierzchnie. Dziwna to religia i w tym podobna do wielu religij przewyższających ją liczbą wiernych, że nadprzyrodzone twory obdarza specjalnym rodzajem egzystencji, wobec którego zwykłe istnienie jest czymś złudnym i przemijającym. Bóstwa są żarłoczne – dla matematyka pur sang nie tylko więc istnieje idealna kula, ale pożarła ona wszystkie zwyczajne kule, tak że ani Księżyc, ani bańka mydlana nie jest kulą. Co zresztą matematycy są gotowi w tej chwili udowodnić. Ta postawa jest wroga nie tylko matematyce stosowanej, ale nawet niszczy wszystkie nauki przyrodnicze. [Hugo Steinhaus, Drogi matematyki stosowanej, 1948. Za: Hugo Steinhaus, Między duchem a materią pośredniczy matematyka, PWN 2000. Wyróżnienie jak w oryginale.]

Synteza.
Zadanie o kokosie, którego przypadkowym autorem zostałem, jest świetnym przykładem idealistycznego podejścia do matematyki, które mój Mistrz (tak myślę dziś o Steinhausie, choć nigdy Go nawet nie spotkałem i uprawiam zupełnie inne rejony matematyki, a czasem już nawet nie-matematykę) oskarżał o wrogość wobec matematyki stosowanej. Od początku miałem kłopot z jego sformułowaniem: jest w matematyce sfera, czyli powierzchnia kuli i kula sama też jest, ale nie ustalonej nazwy na sferę o niezerowej grubości ścianki, mimo że wszystkie praktycznie spotykane sfery taką mają. Jak się już problem ubierze w słowa, to zadanie wydaje mi się świetne, cóż lepszego niż mające sens praktyczny pytanie „gdzie ciąć?”, rozwiązanie, w którym należy wprowadzić parametr (np. odległość x płaszczyzny cięcia od środka), który potem się skraca i okazuje nie mieć wpływu na powierzchnię przekroju. Rozwiązanie jest na tyle łatwe, że można je omówić w gimnazjum – tylko Pitagoras i wzór na pole koła. Można by go użyć do przekonywania, że matematyka ma sens praktyczny.

Mimo to, i mimo wielu lat spędzonych wśród matematyków, nigdy tego zadania nie spotkałem. W ogóle nie widywałem zadań z geometrii, w których powierzchnie mają niezerowe grubości, punkty rozmiary, a odcinki jakiś kształt zakończenia. Idealizm ma się świetnie, a prasa donosi, że w matematyce nasi uczniowie wyglądają relatywnie dużo gorzej na tle rozwiniętego świata, niż w innych przedmiotach.

Jerzy Tyszkiewicz
ilustracja Jerzy Tyszkiewicz (CC SA)

P.S. Autentyczny kokos wydawał mi się bliższy elipsoidy obrotowej, którą, jak policzyłem, najlepiej jest ciąć na krótkim równiku.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 28

Dodaj komentarz »
  1. Młodzież już ten problem dawno zauważyła i opisała, także w postaci twierdzeń (np. przez dowolne trzy punkty można przeprowadzić prostą, byleby była dostatecznie gruba).

  2. Proponuję jak z węzłem gordyjskim: wstawiamy kokos do piekarnika, umiarkowanie podgrzewamy i po kilku minutach skorupa pod wpływem naprężeń sama pęka wzdłuż równika (mniej więcej). 🙂

  3. Kokos jak wszystko na tym świecie ma swój słaby punkt. Jest to miejsce z którego wyrasta szypułka. Wystarczy w tym miejscu zrobić otwór zwykłym nożem.
    Z poważaniem W.

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Steinhaus nie może mieć słuszności. To jest tak gdy matematyk zaczyna filozofować. Kulą „zwykłą” zajmuje się mechanik a kulą idealną matematyk i niech tenże matematyk nie ośmiela się myśleć iż zajmuje się rzeczywistością. Matematyk zajmuje się przedmiotami wyimaginowanymi. I niech sie nimi zajmuje a nie wkracza na cudze pole o którym myśli, że ma pojecie.
    Z powazaniem W.

  6. Wojtek-1942

    Równie wielkie problemy mam ze zrozumieniem filozofów, ubierających swe dowodzenie w formuły matematyczne. Brrrrr…… To już sensowniejsi są w tym mechanicy.

  7. @mw
    Podobno przed wiekami niejaki Pitagoras robił i filozofię i matematykę. Ale to było jeszcze przed nauką. Na poziomie pewnych imaginacji. Szczególnie gdy mowa o filozofii. Bo matematyka w prymitywnej postaci jednak raczkowała już. A do mechaników też czuję rodzaj szacunku.
    Z poważaniem W.

  8. Jurek, kokosa rozbija sie mlotkiem. 🙂

  9. Wojtek-1942 pisze:
    2011-02-05 o godz. 18:05

    A czym innym jak nie filozofią jest współczesna matematyka?
    Ślusarz bez znajomości matematyki może być co najwyżej metaloplastykiem 🙂

  10. A ja, tak doświadczanie, jako fizyk, kokos młotkiem i meselkiem traktuję 🙂
    Płaszczyzny łupliwości ma ciekawe, a i wysiłek fizyczny jakby mniejszy.
    Choć sam sposób, niewątpliwie, mniej elegancki….
    Ukłony

  11. Niejaki Euler, kiedy wynalazl/odkryl rachunek wariacyjny (nic wspolnego z ekonomistami dzisiejszymi!) , postanowil przy jego pomocy obliczyc najbardziej korzzystne proporcje rozmiatu beczki. Chodzilo o nadanie jej takiego, ksztaltu, zeby przy mozliwie najwiekszej objetosci substancji, do przechowywania ktorej
    jest przeznaczona wymagalaby mozliwie najmniejszej ilosci materialu na jej skonstruowanie. Gdy otrzymal rezultat, pognal z wynikami i kagancem oswiaty do najbliszego rymarza. Tam sie okazalo, ze idealnie te same wymiary, co jego stosuja wytworcy beczek od wiekow.

  12. Widzę, że niektórzy koledzy-dyskutanci to jeszcze w epoce kokosa łupanego żyją…

    Wojtku, rzecz w tym (za czym właśnie opowiadał się Steinhaus), że matematyka i mechanika (oraz inne nauki stosowane) mają ogromne pole wspólne. Tylko że tą matematyka ma być matematyka stosowana, świadoma różnicy pomiędzy problemem z życia a jego idealizacją matematyczną. W matematyce stosowanej największą chyba sztuką jest tworzenie sensownych matematycznych modeli rzeczywistości, które zachowują to co w realu naprawdę ważne i abstrahują od nieważnego, co pozwala minimalizować i kontrolować tę różnicę.

    Niestety, bardzo często takie modele usiłuje tworzyć matematyk czysty i zamiast ku dobremu modelowi kieruje się ku ładnemu jego zdaniem problemowi matematycznemu, który dostanie na końcu. W efekcie wychodzi matematyka mająca pretekst praktyczny, ale żadnego praktycznego znaczenia.

    Jest fatalnie, jeśli na takich modelach uczy się dzieci, bo potem mają matematykę za coś w rodzaju trudnej a bezużytecznej filozofii.

    Jasio chce zbudować karmnik dla ptaków i potrzebuje w tym celu czterech deseczek o długości 250 mm oraz dwóch o długości 500 mm. Kupił deskę o długości 2 metrów. Czy wystarczy ona, by zbudować karmnik?
    Jestem gotów się założyć, że w każdym polskim szkolnym podręczniku matematyki odpowiedź byłaby „TAK”. A tymczasem w praktyce odpowiedź jest „NIE”, bo każda piła przerabia część ciętego materiału na trociny i w efekcie suma długości pociętych kawałków jest zawsze mniejsza od długości całości. To ważny efekt i dobry matematyczny model problemu budowy karmnika nie może go eliminować.

    Ale niestety Jasiowie, którzy w takich sprawach zaufają matematyce szkolnej sparzą się i nabiorą przekonania, że szkoda czasu na jej naukę.

  13. @J.Ty.
    Ależ ja właśnie optuję za poglądem, że budowa karmika to jest pole popisu mechanika a nie matematyka. I tenże mechanik choć zna podstawy arytmetyki to aby zbudować karmik i kupić uprzednio odpowiednią ilość deski wcale jej znać nie musiał by. Sa takie opowieści o szkutnikach z wysp szczęśliwości, którzy potrafili zbudować pływadło z desek korzystając z metrowego prostego kijka jako przyrządu pomiarowego. A to, że szkoła nie uczy to wiem a priori.
    Z poważaniem W.

  14. Ależ czy nie jest jednym z zadań matematyki w szkole (Jasio i karmnik) uczyć myślenia abstrakcyjnego? Konkretnie myślą wszyscy, myślenia abstrakcyjnego trzeba się uczyć, tak jak myślenia logicznego (w granicach ilorazu inteligencji).
    Nie chodzi mi o myślenie abstrakcyjne rozumianoe jako „przypadłośc” H. sapiens, ale o to właśnie, które pozwala Jasiowi zbudować (na papierze, czyli właściwie w głowie) karmnik z dwumetrowej deski, będący prototypem wszystkich takich karmników, jakie mógłby sobie Jasio w życiu, aż do śmierci, wyobrazić.
    Tę umiejętność myślenia abstrakcyjnego zastosuje w praktyce, myśląc już konkretnie, gdy kupi dłuższą deskę, gdy będzie chciał zbudować jeden rzeczywisty karmnik. Matematyka nie ma uczyć o trocinach, powstających przy cięciu desek, tak jak praktyka budowniczego karmników nie wymaga dowodzenia twierdzeń geometrycznych, wzory z których pochodzące są, a jakże, przydatne przy kleceniu budek dla ptaszków.

  15. Addendum:

    Oczywiście, pisałem o matematyce serio. Być może matematyka, jaką powinni znać ludzie (95 procent z nich) w dzisiejszym świecie, powinna uczyć raczej (albo tylko) jej praktycznego zastosowania. Czyli uczyć o trocinach. Zauważyłem, gdy mieszkałem wiele lat na tzw. Zachodzie, że tak to właśnie tam wygląda. I jakoś sobie radzą. Być może, że czym innym jest Matematyka, a czym innym matematyka. I może nie tej pierwszej, ale tej drugiej powinni uczyć w szkołach współczesnego świata, w którym istnieje niewielka elita decydująca o tego świata rozwoju, oraz nieprzebrane masy konsumentów – czyli budowniczych domków dla ptaszków. Tak mi to teraz przyszło do głowy (Espirit d’escalier….)

  16. @ J.Ty.
    No tak, a jestem za lupanym bo nie mam cierpliowosci do pilowania.

  17. @mw
    Jestem za uczeniem abstrakcyjnego myślenia. Ale wtedy zadanie powinno być takie: sprawdź, czy zachodzi równość:
    4*250+2*500=2*1000

    Natomiast próba uczenia abstrakcyjnego myślenia na sfałszowanym modelu rzeczywistości (sfałszowanym, bo z pominiętą istotną cechą) kończy się kompromitacją. Naprawdę abstrakcyjnie myślący Jasio dojdzie do wniosku, że dorośli na pewno nie używają do projektowania karmników matematyki, bo w ich karmnikach wszystko do siebie pasuje.

  18. @ kokos
    raczej do bednarza 🙂

  19. @J.Ty>
    „Natomiast próba uczenia abstrakcyjnego myślenia na sfałszowanym modelu rzeczywistości (sfałszowanym, bo z pominiętą istotną cechą) kończy się kompromitacją. ”
    O, chyba najważniejsze zdanie z całego wpisu i dyskusji. Z „czystą” matematyka jeszcze pół biedy, na „własnym podwórku” uważam ze TO właśnie jest przyczyną kompletnej porażką nauczania fizyki w szkole….

  20. J. Ty i ryzyk-fizyk:

    „Kończy się kompromitacją” tylko wtedy, jeśli do modelu abstrakcyjnego człowiek (uczeń) używa myślenia konkretnego (ponieważ „abstrakcyjnie” myśleć nie potrafi, nie został nauczony). To jest dopiero kompromitacja!

  21. Popieram mw.

    W tym konkretnym przypadku można dodać: pomijając szerokość cięcia.

    Problem jest głębszy – umiejętności przejścia od konkretnej sytuacji fizycznej
    do idealizacji uczyło się dawniej właśnie na fizyce (dawniej tzn. ok. 30 lat temu).
    Twierdzę, że jedną z głównych przyczyn zapaści szkolnictwa jest praktyczne
    zaprzestanie nauczania fizyki w szkole średniej i gimnazjum.
    Mimo że sam nie jestem fizykiem, uważam, że właśnie fizyka była najbardziej
    kulturotwórczym i niezastępowalnym składnikiem dawnej edukacji.

    W owych zamierzchłych czasach nikt nie miał trudności z odróżnieniem deski
    idealnej od rzeczywistej.

  22. @mw,zygzag
    dzięki za komentarze, które świetnie precyzują co miałem na myśli. Zgoda, choć ostatnie zdania zygzaga to pewna (retorycznie uzasadniona) przesada 🙂

  23. Ma nazwę: powłoka kulista (spherical shell). Powszechnie używana w mechanice,.
    może mniej powszechnie, ale równiez w matematyce.

  24. Ładna nazwa i jakoś kojarzy mi się z architekturą z kopułami.
    Z powazaniem W

  25. Czy naprawdę ze smakiem zjadacie te kokosy? Nie myślę o mleczku ale o miąższu.
    Z poważaniem W.

  26. @zygzak
    Nie znałem tej nazwy.

    @Wojtek
    Owszem, zjadam z przyjemnością także miąższ. Moje dzieci także.

  27. Opowiadam się za wiórkami kokosowymi w przeźroczystych torebkach plastikowych. I nie mam problemów ze Steinhausem.

  28. @Konserwatysta

    Mimo że jadam kokosy w postaci naturalnej, nie tylko nie mam problemów ze Steinhausem, ale się nim zachwycam.
    Może Pan też spróbuje?

  29. Cięcie przez krótszy równik jest najlepszą z opcji ciętych, bo przecież piłujący chce się zazwyczaj dobrać do miąższu. A pójście na skróty przez któryś z równoleżników – i uzyskanie w efekcie małej dziury – to dobieranie mocno utrudni. Czyli właściwie odpada. Jednakowoż opcja z wywierceniem najpierw dwóch otworków, wylaniem mleczka, włożeniem następnie kokosa do woreczka foliowego i fest rzuceniem całością o podłogę wydaje się z różnych względów praktyczniejsza 🙂 Mowa oczywiście o gołych kokosach. Z zielonymi metoda może się nie sprawdzić…

css.php