Paradoks wiedzy
Absolutna pewność wiedzy jest nieosiągalna – ale czy rzeczywiście potrzebna?
Żyjący w XVIII wieku szkocki filozof David Hume dał chyba najmocniejszy wyraz pewnemu paradoksowi wiedzy. Na czym on polega? Zanim do niego dojdziemy, trzeba wprowadzić pewne rozróżnienia.
Otóż od czasów Hume’a wywodzi się jeden z ugruntowanych i powszechnie akceptowanych podziałów nauk na nauki analityczne i syntetyczne. Te pierwsze odnoszą się do sfery wiedzy niezależnej od doświadczenia. Przykładem jest tutaj matematyka: czy by ten świat byłby taki, albo inny, to 2 + 2 będzie zawsze 4, a kwadrat przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym będzie się równać sumie kwadratów dwóch przyprostokątnych. By ustalić te związki nie trzeba odwoływać się w ogóle do doświadczenia. Wystarczą operacje o charakterze czysto myślowym i logicznym.
Nauki syntetyczne z kolei oparte są na doświadczeniu. Na przykład, aby ustalić prawdziwość twierdzenia, że ciało zanurzone w wodzie traci pozornie na swym ciężarze tyle, ile wynosi ciężar wody wypartej przez to ciało (prawo Archimedesa), trzeba przeprowadzić eksperyment, który twierdzenie to obali, bądź potwierdzi. Należy więc odwołać się do faktów. Ale rzadko jest tak, by z jednego faktu wynikał inny. Następstwo pewnych faktów znajduje potwierdzenie tylko w wyniku obserwacji. Z tego zaś wynika, że następstwo to nie zawsze jest pewne.
Mówiąc inaczej – następstwo to rzadko bywa pewne, a jeśli już mamy taką pewność, to tylko na podstawie długotrwałych obserwacji danego zjawiska, procesu czy rzeczy. Przy czym ze względu na dość ograniczony czasoprzestrzennie obszar obserwacji nie jesteśmy w stanie wykluczyć, że przedmiot naszych obserwacji gdzie indziej lub kiedy indziej będzie zachowywał się zupełnie inaczej niż teraz. Mówiąc obrazowo – z tego, że wszystkie widziane przez nas do tej pory łabędzie są białe, wcale nie wynika, że nie istnieją łabędzie czarne.
Rozróżnienie to prowadzi jednak paradoksu: prawdziwość nauk analitycznych jest w zasadzie absolutna, chociaż bezużyteczna; w przypadku zaś nauk syntetycznych możemy jedynie powiedzieć, że ich pewność jest zawodna, chociaż użyteczna.
Sytuacja jest dość kłopotliwa. Jeśli założyć, że nauka powinna zawierać tylko wiedzę prawdziwą, to status nauki mogą mieć tylko nauki analityczne. Bo tylko one oferują nam wiedzę pewną. Nauki syntetyczne zaś operują w tym wypadku tylko mniej lub bardziej prawdopodobnymi mniemaniami. Pewność nauk analitycznych może być absolutna. Jednak nie odnoszą się one w ogóle do świata, dlatego są treściowo puste. Stopień pewności nauk syntetycznych jest dość ograniczony – ich twierdzenia mogą, ale nie muszą być prawdziwe, a zatem prawa, którymi operują nie muszą być konieczne. Mogą być zawodne. Z jednej strony mamy więc wiedzę absolutnie pewną, ale pozbawioną jakiejkolwiek wartości, z drugiej wiedzę, która odnosi się do świata, lecz jest ona zawodna, a jej prawdziwość względna.
Kłopotliwość tej sytuacji wynika z bardzo rygorystycznego i maksymalistycznego myślenia Hume’a. Zakładał on, że na wiedzę zasługują tylko te teorie, o których prawdziwości jesteśmy absolutnie pewni. Skoro nauki syntetyczne oparte są na doświadczeniu, a to zawsze jest jakoś ograniczone, to i ich wiedza jest ograniczona. Dzieje się tak, ponieważ nauki te są oparte na założeniu, że co zachodzi w skali lokalnej (albo w skali jakiejś próby, grupy, populacji itd.) zajdzie też w skali globalnej. W praktyce okazuje się jednak, że absolutna pewność wiedzy nie jest konieczna, by na jej podstawie dość dobrze sobie radzić. O czym możemy się przekonać na co dzień.
Grzegorz Pacewicz
Fot. fabbio/Flickr (CC BY SA)
Komentarze
Wydaje mi sie, ze Szanowny Autor przecenia absolutna prawdziwosc nauk analitycznych. Istotnie, wiele stwierdzen matematycznych mozna wyprowadzic na drodze logicznych przeksztalcen ze wyjsciowego zbioru stosownych aksjomatow. Te jednak musza byc przyjete bez dalszej weryfikacji. Pewna informacja co do ich prawdziwosci moga byc wlasnie obserwacje empiryczne. Dla przykladu: mamy geometrie euklidesowa i geometrie nieeuklidesowe rozniace sie postulatami dotyczacymi zachowania sie prostych rownoleglych.
W kazdej z nich mozna wyprowadzic szereg dalszych stwierdzen, ktore oczywiscie beda sobie przeczyc. Nie jest jasne, ktora z tych geometrii jest prawdziwa bo wszystko co mozna powiedziec to to, ze sa one zgodne z odpowiednio z roznymi systemami aksjomatow.
Ta kłopotliwość sytuacji wynika również z paru innych, a zasygnalizowanych wyżej, przesłanek, które skłonny byłbym odrzucić.
Podział na nauki analityczne i syntetyczne jest być może ‚ugruntowany’, a nawet akceptowany ‚powszechnie’ (w pewnych kręgach – rzecz jasna), niemniej jest to podział błędny. Brakuje mu cechy rozłączności, która cechuje każdy dobry podział. Trudno bowiem ostro wytyczyć granicę między wiedzą zależną od doświadczenia, a wiedzą niezależną. Szczerze mówiąc, wątpię, by wiedza niezależna od doświadczenia w ogóle istniała. Sądy typu ‚2 + 2 = 4’ nie są tu żadnym wyjątkiem. Dlatego pojęciem doświadczenia należy również objąć ‚operacje myślowe i logiczne’, z tym zastrzeżeniem, że nie ma operacji ‚czysto myślowych i logicznych’. Myśli zawsze pewien konkretny, empiryczny człowiek. I czasem wymyśla algorytm, który pozwala przestać myśleć i liczyć, bo tak jest wygodniej.
Źródło tego (błędnego) podziału leży chyba, jak mniemam, w pewnej antropologii – bo przecież nie w doświadczeniu – czyli nauce o człowieku, przypisywanej Kartezjuszowi. Według tej koncepcji (Platon, Kartezjusz), człowiek składa się z dwóch rzeczy, ciała i ducha. Świadomość, myślenie, jest w niej całkiem odzielone od ciała. Inna koncepcja (Arystoteles, św. Tomasz, Hegel) zakłada jedność duszy i ciała. Na jej gruncie można z powodzeniem odrzucić podział analityczne-syntetyczne. Nie umniejsza to zresztą swoistości różnych nauk.
W ten sposób paradoks znika. Zarówno bezużyteczna, absolutna prawdziwość nauk analitycznych, jaki i użyteczna, choć zawodna pewność nauk syntetycznych okazują się równie iluzoryczne. Są rózne stopnie pewności, z których jeden z największych mają zapewne tzw. prawdy logiczne (np. jeżeli p, to p), zaś użyteczność czegoś pozornie nieużytecznego ujawnia się czasem całkiem nieoczekiwanie…
Poza tym, jak Pan Bóg dopuści, to i z kija wypuści ;).
Stwierdzenie autora, iż : „prawdziwość nauk analitycznych jest w zasadzie absolutna” jest całkowicie błędne od czasu gdy w w 1931 roku Kurt Gödel – austriacki logik i matematyk, udowodnił twierdzenie o niezupełności systemów arytmetycznych, z którego wynika, że istnieje więcej twierdzeń matematycznych, niż da się wyprowadzić z aksjomatów – czyli że zdań prawdziwych jest więcej niż tych, które da sie udowodnić. Pośrednio wynika z tego, że matematyka może zawierać zdania sprzeczne – nie ma zatem dowodu na niesprzeczność matematyki.
Mimo tego twierdzenie autora o niepewności wszelkiej wiedzy, w pełni znajduje potwierdzenie właśnie w twierdzeniu Goedla.
To i ja wtrącę swoje trzy grosze: jeżeli przez „absolutną pewność” rozumieć będziemy „bezzałożeniowość” to takiej wiedzy nie ma – jeżeli „absolutnie pewna” ma oznaczać „prawdziwa w danym systemie przekonań/założeń” to takiej wiedzy mamy na pęczki.
Bobola, m:
Prawdziwośc nauk analitycznych (chociaż może lepiej byłoby mówić o zdaniach analitycznych i syntetycznych) jest prawdziwością tautologiczną. Jeżeli jakieś zdanie nie jest prawdziwe to nie należy do systemu i tyle. I w systemach tych „weryfikacja” poloega na ustaleniu niesprzeczności z resztą założeń systemu – odwoływanie się do empirii jest tu niepotrzebne ( i niewłaściwe). Aksjomaty mozna sobie wybrać dowolnie i dowolnie wybrać reguły przekształceń – ważne tylko, aby system nie był wewnętrznie sprzeczny. Dwa i dwa jest cztery na mocy definicji i empiria nie ma tu nic do rzeczy.
Czesław:
tw. Goedla mówi, że jeżeli dany system formalny jest dostatecznie bogaty, to istnieją w nim zdania, których prawdziwości lub fałszywości nie można udowodnić używając jedynie metod tego systemu formalnego. Jednak z tego, że takie zdania istnieją, nie wynika wcale, że zdania, które można udowodnić, nie są absolutnie prawdziwe – w tym systemie formalnym.
Hoko,
to co napisałeś o naukach analitycznych, jest zapewne prawdziwe na mocy
ich definicji, ale przy takim rozumowaniu nie jest wcale jasne czy matematyka jest nauką analityczną. Russell chciał ją zredukować do logiki, nie udało się. Wbrew pozorom aksjomatów też nie przyjmuje się dowolnie, jeśli tak się robi, to nie ma to wiele wspólnego z nauką. W logice rozpatruje sie dowolne systemy aksjomatów, ale są one obiektem badań, a nie podstawą nowej nauki.
A kwestia czy zdania matematyki są zdaniami analitycznymi czy syntetycznymi apriori to od dawna „wielki” (pseudo)problem w filozofii matematyki.
Co więcej rozróżniłbym jednak prawdziwość (np. w sensie Tarskiego) od możliwości udowodnienia w systemie formalnym. System aksjomatów może mieć wiele modeli, z reguły ma ich nieskończenie wiele nieizomorficznych. I tw. Goedla w pewnym sensie mówi, że są zdania, które w jednych modelach będą prawdziwe, a w innych nie. Są to dokładnie te zdania, których nie można w danym systemie aksjomatów udowodnić. Ale sama kwestia czy coś sie da wyprowadzić to tylko przepisywanie znaczków. I sporo matematyków nie zgadza się z tą tezą o redukcji matematyki do czegoś takiego, bo jeśli mówię np. o liczbach naturalnych, mam z reguły na myśli coś „konkretnego” (czyli „znane” wszystkim liczby, czymkolwiek by one nie były), a nie dowolny system spełniający aksjomaty Peano. Tak naprawdę w uproszczeniu tw. Goedla sprowadza się przecież do zagadki Szwejka:
„Nie umiałbym, proszę panów – odpowiedział Szwejk – ale i ja bym panom też mógł zadać zagadkę. Jest dom o trzech piętrach, każde piętro ma osiem okien. Na dachu są dwa dymniki i dwa kominy. Na każdym piętrze mieszkają dwaj lokatorzy. a teraz powiedzcie, panowie, którego roku umarła babka stróża?”
Ma ono zresztą też pewien związek z poruszanym tu wcześniej problemem niewyrażalności czegoś w języku.
Poza tym, gdy system aksjomatów jest sprzeczny, rzeczywiście zabawa traci trochę urok (choć i takie systemy się przydają, jak twierdzą niektórzy, powołując sie na fizykę), a niesprzeczności bogatych systemów nie jesteśmy w stanie udowodnić (jeśli dobrze pamiętam, to się nazywa drugim tw. Goedla). Stąd argumentem za teorią mnogości jest tak naprawdę to, że jest w miarę zgodna z intuicją i jak na razie świetnie działa. Niemniej niepewność jest poniekąd nieodłączna.
Zresztą pewność to kwestia psychologiczna, a nie naukowa. Nawet najlepsi matematycy mogą mieć wątpliwości, popełniają też błędy. Pod tym względem szczypta dystansu do własnych wyników nie zaszkodzi, choć oczywiście nie można przesadzać.
Jak tu zresztą mówić o absolutnej pewności w nauce, gdy ja np. jej z reguły nie mam w kwestii czy wyłączyłem żelazko ;-).
Hoko:
Czy sądzisz, że gdyby nie ‚moc defnicji’, dwa i dwa nie byłoby cztery? Skąd wiesz, że empiria ‚nie ma tu nic do rzeczy’? Chyba nie z definicji – to byłby prawdziwy paradoks ;)…
Rozróżnienie sądów analitycznych i syntetycznych ma już głównie historyczne znaczenie. Jak wspomniałem, brakuje zadowalającej zasady tego podziału. Sa natomiast funkcje logiczne, zwane tautologiami.
m:
tak właśnie sądzę: gdyby nie definicja, dwa i dwa nie byłoby cztery 😀
hlmi:
a co takiego konkretnego masz na myśli, mówiąc o liczbach naturalnych (czy jakichkolwiek innych)? Co to takiego są „znane wszystkim liczby”? czy potrafisz wytłumaczyć ich istotę inaczej niż odwołując się do takiej czy innej aksjomatyki? Nie sądzę. Co najwyżej można bajerować, że tak na prawdę nie wiemy czym są liczby – zależy od puktu wyjścia. W teorii mnogości liczby są zdefiniowane (konkretne), ale to zdefiniowanie jest możliwe tylko i wyłącznie na gruncie systemu formalnego. A że liczby „pasują” do empirii? Matematyka to język – część jego elementów pasuje do świata fizycznego i go opisuje. Tak samo jak część wymyślonej fabuły może pasować do tego, co się na prawdę zdarzyło (analogia oczywiście niepełna).
Tu może mówimy trochę o różnych rzeczach, bo GP pisał o całych systemach analitycznych i syntetycznych – i tutaj problemów jest znacznie więcej, natomiast ja jednak wolałbym te bardziej podstawowe jednostki: zdania. Ale jedno przekłada się na drugie.
„Prawda” Tarskiego sama boryka się z wieloma problemami – chyba nawet z większą ich ilością, niż podział na analityczne-syntetyczne. A Szwejkowi poplątały się kategorie (dla tych, co Szwejka nie znają na pamięć dodaję, że ci „panowie” zadali wcześniej wojakowi pytanie, czy potrafiłby obliczyć przekrój Ziemi).
Moore przytacza wypowiedź Wittgensteina z jednego z wykładów, iż ?3+3=6, jest regułą dotyczącą sposobu, w jaki mamy zamiar rozmawiać. Jest ona przygotowaniem opisu, podobnie jak ustalanie jednostki długości jest przygotowywaniem pomiaru?. Dowód matematyczny stanowi zatem pewien nowy paradygmat. Sądy matematyczne jako takie nie opisują niczego, lecz pomagają nam ustanowić kryteria stosowania pojęć, mających istotne zastosowanie opisowe. Ponieważ są one wcześniejsze od opisu, są również w pewnym sensie wcześniejsze od prawdziwości.
Nie znaczy to, że wybór reguł matematycznych, podobnie jak wybór norm pomiaru, jest całkowicie arbitralny. Muszą one być takie, by ich zastosowania były zgodne z zastosowaniami empirycznymi. Empiryczne obserwacja mają więc niejako pierwszeństwo, a reguły udzielają sankcji ?konieczności? temu, co w przeciwnym razie miałoby charakter generalizacji indukcyjnych. Następnie prymat staje się udziałem reguł, ponieważ dostarczają one kryteriów pozwalających na rozstrzyganie, czy nasze badania empiryczne zostały przeprowadzone poprawnie. Wydaje się jednak, iż zakłada to, że gdyby występowała stała rozbieżność między wynikami empirycznymi a wynikami wyznaczonymi przez reguły, to własnie reguły zostałyby zmienione.
Ayer o filozofii późnego Wittgensteina
Tak przy okazji zaanonsuję mój „blog” z cytatami, skąd i powyższe skopiowałem:
sekswbiedronce.wordpress.com/
I mój komentarz do drugiego akapitu z cytatu. Empiryczne obserwacjie mają w tym sensie pierszeństwo, że pozwalają z wszystkich możliwych zdań generowanych przez dany system formalny (np. matematykę) wybrać te, które są opisem… empiri właśnie. Natomiast jeśli jakies zdanie nie odpowiada rzeczywistości empirycznej, to wcale nie znaczy, że jest błędne na gruncie systemu formalnego. Ono jest tylko fałszywe jako opis rzeczywistości fizycznej, ale może być absolutnie prawdziwe jako składnik , element sytemu formalnego. Przykładem mogą być tu te przywołane przez Bobolę przestrzenie o rozmaitej liczbie wymarów. Jako opis teoretyczny, jako składnik systemu formalnego, one wszystkie są prawdziwe: bo są wywodliwe z założeń systemu. Ale empirycznie prawdziwa może być tylko jedna.
Zaś co do pewności: teorie naukowe (empiryczne) nigdy nie są pewne (Popper) – a więc i niemożliwe jest stwierdzenie, że są absolutnie prawdziwe (a nie, że są np. jakimś tylko przybliżeniem). Natomiast zdania systemu formalnego są prawziwe na mocy definicji – bo zdanie nieprawdziwe nie należy do sytemu (zdanie 2+2=5 nie jest, jakby się mogło zdawać, fałszywym zdaniem matematycznym, bo to zdanie w ogóle nie należy do matematyki jako systemu – choć może należeć do lekcji matematyki w szkole… )
Hoko,
nie potrafię podać definicji liczby nie wychodząc od jakichś innych pojęć pierwotnych, nie wiem czy zauważyłeś, ale słowa „konkretne” i „znane” w moim poprzednim wpisie, są właśnie w cudzysłowiu, więc nigdzie nie sugeruję, że potrafię taką definicję podać. Biolog też nie potrafi podać definicji konia, nie wychodząc od jakichś innych pojęć, różnica jest taka, że koń jaki jest, każdy widzi o wiele wyraźniej niż jaka jest liczba.
Tak się składa, że matematyka jest oparta o teorię mnogości, więc pojęciem pierwotnym jest zbiór. Ale za pojęciem zbioru stoją konkretne intuicje, a liczby naturalne zdefiniować można w ramach tej teorii na wiele sposobów, ważne jest tylko, żeby miały te własności, które wszystkim kojarzą się z liczbami (0), 1,2,3, etc. tak, jak je właśnie intuicyjnie rozumiemy. W teorii Peano są one przyjęte jako pojęcie pierwotne i nie muszę ich definiować. W innych teoriach pojęciem pierwotnym może być funkcja. Nie zmienia to jednak faktu, że wiąże się to wszystko jakoś ze światem w którym żyjemy, nie wiem jak i dlaczego, ale tego nikt nie wie, a ja nie zamierzam marnować czasu, zastanawiając się nad tym nadmiernie.
Matematyka to wg mnie dużo więcej niż język, jest to pole działalności naukowej, związane z innymi działami nauki, motywowane przez nie, oddziałujące też na te inne działy. Zdania na temat jej natury są podzielone, intuicjoniści byli na przykład przeciwni
aksjomatyzacji matematyki, woleli odwoływać się właśnie do tych niejasnych intuicji, które mamy w głowach i które dziwnym trafem są wspólne dla większości ludzi (nie wiem czy z przyczyn kulturowych, biologicznych czy teologicznych). Inni, podobnie jak Ty, twierdzą, że matematyka to system znaczków, jeszcze inni wierzą w obiektywne istnienie pewnych obiektów matematycznych. Nie zmienia to jednak faktu, że redukowanie matematyki do roli języka jest bardzo upraszczające.
Jeśli chcesz się bawić dowolnymi aksjomatami, możesz, więcej pożytku jednak zrobisz jak będziesz układał sudoku, a nauki będzie w tym tyle samo. Aksjomaty matematyki wyrosły z ludzkich prób opisu rzeczywistości,
znów czymkolwiek by ona nie była. Skrajni matematycy (jak Hardy), twierdzili nawet, że matematyka mówi więcej o świecie rzeczywistym niż fizyka, co jest przesadą, ale pokazuje, że matematyka to nie jest działalność, w której mówię sobie
– teraz będę używał liter a,b,c i znaczka ->, założę, że „a->b = c, i ….”. Zobaczymy co z tego wyniknie
Matematyka, jak każda nauka, ma za zadanie opisanie pewnych aspektów świata rzeczywistego, dlatego aksjomaty odnoszą się do naszych intuicji i sposobu w jaki go postrzegamy. Często, jak w przypadku rachunku prawdopodobieństwa są wynikiem pewnego kompromisu, bo zostały tak dobrane, żeby można było udowodnić jakąś wersję prawa wielkich liczb, które wydaje nam się prawdziwe na podstawie intuicji i doświadczenia. Potem można się rzeczywiście zastanawiać na ile wyniki teoretyczne odpowiadają rzeczywistości, a sama teoria zaczyna się łączyć z innymi działami matematyki i znajduje zastosowania nie związane z pierwotnymi motywacjami, nie zmienia to jednak faktu, że to rzeczywistość bywa często bodźcem do stworzenia jakiejś teorii. Nawet w logice, nie bada się zupełnie dowolnych systemów, tylko jakoś związanych z „życiem”. Tak wiec chodzi o opis świata i w tym sensie język odgrywa kluczową rolę, jest on jednak także w matematyce narzędziem, a nie istotą.
A Szwejkowi nic się nie pomieszało, ten przykład (nie mój zresztą) pokazuje właśnie (jak napisałem, w uproszczeniu), że pewne aksjomaty mogą być niewystarczające do odpowiedzi na zadane pytanie. Innymi słowy, mogą być dwa domy, spełniające zadane przez Szwejka warunki, w których odpowiedź na jego pytanie jest inna. Podobnie jak mogą być dwa modele teorii mnogości, w jednym hipoteza continuum jest prawdziwa, w drugim nie. Ale żeby w ogóle to wysłowić, potrzebna jest właśnie definicja prawdy Tarskiego, która jest przydatna właśnie po to by rozpatrywać teorię modeli, a nie po to, żeby odpowiadać na pytanie „cóż to jest prawda”.
To jeszcze komentarz do drugiego wpisu, bo pojawił się gdy pisałem.
Jest to typowy przykład wywodów na temat matematyki, nie mających nic wspólnego z matematyką rzeczywistą. To jest właśnie ta wiedza analityczna i pusta, jeśli zdefiniujemy matematykę w ten sposób, jako „system”, będzie ok, ale mnie jako matematyka śmiech bierze po prostu jak czytam coś takiego. To tak jakby nazwać częścią geologii przenoszenie kamieni z jednej części placu na drugi.
Polecam pod tym względem dwie książki: „Świat matematyki” i „Co to jest matematyka”. Jest też wybór tekstów źródlowych z filozofii matematyki, czytając go, idealnie widać, którzy autorzy choć raz w życiu „splamili się”\ matematyką. A i wśród matematyków zdania są podzielone, wszystkie one jednak mają więcej sensu niż te wypowiadane przez tych filozofów, którzy nie wiedzą o czym mówią.
I wyjaśnij proszę co masz na myśli przez „absolutnie prawdziwe” w systemie formalnym. Bo jeśli odwołasz się do teorii modeli, to w ogóle nie można mówić o prawdziwości w systemie, a tylko w modelu, a jeśli chcesz być formalistą, mówiąc o wyprowadzalności, to to zdanie:
>tw. Goedla mówi, że jeżeli dany system formalny jest dostatecznie >bogaty, to istnieją w nim zdania, których prawdziwości lub fałszywości nie >można udowodnić używając jedynie metod tego systemu formalnego. >Jednak z tego, że takie zdania istnieją, nie wynika wcale, że zdania, które >można udowodnić, nie są absolutnie prawdziwe – w tym systemie >formalnym.
jest nieprawdziwe.
Hoko:
Wielka jest moc definicji 8). I wielka jest siła wiary ;). Gdybyś jednak zechciał nam tu udowodnić to swoje twierdzenie, niechybnie odczułbyś trudy dowodowej praktyki, a zarazem docenił rolę empirii w uznawaniu zdań prawdziwych ‚na mocy definicji’. Nie ma tu miejsca na takie dowody, ale możesz spróbować to zrobić na własny użytek.
PS A bezinteresowna zabawa różnymi systemami dedukcyjnymi bywa pouczająca i zabawna. Przykłady można znaleźć w książeczkach R. Smullyana (Dama czy Tygrys; Szatan, Cantor i nieskończoność).
W gnebieniu GP zapomnielismy tylko o tym, ze nauka ma charakter klasowy i ze klasa pracujaca dobrze wie ze 2+2 =5 zas nadmiarowa jedynka laduje w kieszeni kapitalistycznego wyzyskiwacza.
hlmi:
język polski to też „dużo więcej” niz język – to przecież pole działalności kulturowej, politycznej, etc. Wg mnie takie rozumowanie jest cokolwiek nonsensowne. Tak samo mówienie, że matematyka „ma za zadanie” – to tak, jakbyśmy ją stworzyli po to, by nam opisywała świat. Ja nie twierdzę, że matematyka nie ma nic wspólnego z rzeczywistością, ale że ten związek jest w jakimś stopniu przygodny. Matematykę mozna uprawiać bez jakichkolwiek odwołań do świata – i olbrzymia część matematyki powstaje na tej właśnie zasadzie; co najwyżej w niektórych przypadkach później okazuje się, że „wynalezione” metodą czysto formalną elementy zaczynaja pasować do odkrywanych części empirii (tak było, jeśli dobrze pamietam, z rachunkiem macierzowym). Znam kilku matematyków – i dla nich matematyka to w znacznej mierze właśnie „zabawa”: kopanie w tym systemie, znachodzenie kolejnych zalezności, kolejnych metod przekształceń, bez patrzenia na to, czy to, do czego dojdą, będzie pasować do swiata; ważne, aby pasowało do matematyki. I wtym sensie wiedza matematyczna jako taka jest pusta.
Jeśli chodzi o Szwejka, to pytanie, jakie mu zadano, było pytaniem empirycznym. Natomiast Szwejk zadał panom zagadkę purenonsens. Aksjomaty, jak się uprzemy można tu wprowadzić – jako dowolne założenia dowolnego systemu.
„Absolutnie prawdziwy” znaczy tyle co prawdziwy – matematyka to nie język naturalny, by trzeba było rozważać takie niuanse…
I wracając do języka – język naturalny jest w jakimś stopniu determijnowany genetycznie. Matematyka siłą rzeczy musi z tego języka wychodzić – więc byc może jej związek z empirią bierze się właśnie stąd. Co nie zmienia faktu, że matematyka jest opisem – i tak jak w języku naturalnym mozna stworzyć zdanie poprawne gramatycznie a nonsensowne empirycznie, tak i możliwe jest to w matematyce.
I „redukowanie matematyki do roli języka” nie jest żadnym uproszczeniem ani redukowaniem, bo poza językiem nie istnieje możliwość komunikacji.
m:
na mocy definicji prawdziwe jest zdanie „kawaler to nieżonaty mężczyzna”. Związek z empirią jest przygodny 🙂
Bobola:
W fizyce kwantów tez występują przyadki, gdzie 2+2 zdaje się równać pięć. Ale to tylko kwestia stworzenia innego systemu z nowymi regułami. Co jest trudne, bo akurat w tym przypadku o jakichkolwiek „intuicjach” nie ma mowy.
PS
Zajęliśmy się dziedziną analityczną, a może by tak przejść do syntetycznej – np. prawomocności twierdzeń empirycznych – tu dopiero okazuje się, że żadnej „prawdy” nie ma…
Hoko,
no więc wyobraź sobie, że matematykę tworzymy m.in. po to, żeby opisywała świat. Rzeczywiście, olbrzymia część matematyki jest motywowana wewnętrznie, ale stawiane tam problemy pojawiają się z reguły jako ciąg coraz bardziej abstrakcyjnych zagadnień, wychodzących
koniec końców np. od intuicji np. fizycznych. Można sobie postawić zupełnie oderwane pytanie, bo matematyka to też gra intelektualna. Ty jednak przyrównujesz ją do jakiejś gry, typu scrabble, podczas gdy nawet ta abstrakcyjna matematyka jest jakoś (może w sposób odległy) motywowana rzeczywistością. Gdy szukamy (kontr)przykładu, bardzo często myślimy geometrycznie i pokazujemy rysunek. Jak myślę o trójkącie, nie myślę o ciągu znaków na kartce, tylko o figurze geometrycznej, czyli czymś wyidealizowanym, ale jakoś pochodzącym z rzeczywistości. Jak już pisałem, mówiąc liczba naturalna mam z reguły na myśli coś związanego z codziennym procesem liczenia, a nie jakiś nieprzeliczalny model arytmetyki Peano. I podobnie jest na każdym poziomie abstrakcji, oderwane pojęcia mają koniec końców swoje źródło w naszym doświadczeniu i ich użyteczność (wewnętrzna lub zewnętrzna) decyduje o tym czy zyskują popularność. Możemy się zastanawiać na ile ta idealizacja jest właściwa, ale nie zmienia to faktu, że te pojęcia pochodzą z rzeczywistości. Nie wiem jaka była pierwsza motywacja dla macierzy, ale teoria przestrzeni liniowych ma znaczenie geometryczne.
Mogę sobie wyobrazić dwa sensowne sposoby wprowadzenia macierzy:
– jako opis przekształceń liniowych, co jest z jednej strony motywowane algebrą, z drugiej geometrią
– jako obiekt czysto algebraiczny, który ma pewne własności (mnożenie jest łączne, ale nieprzemienne, jest rozłączność mnożenia względem dodawania, nie zawsze da się dzielić, etc.)
W pierwszym przypadku motywacja geometryczna od razu mówi o pewnych związkach z rzeczywistością. W drugim, kolejność jest następująca: liczby naturalne (znane jakoś z doświadczenia, bo na nich liczymy), ułamki, ew. liczby rzeczywiste, abstrakcyjne pojęcie ciała liczbowego (przemiennego, pojawiające się w wielu zastosowaniach,
np. w teorii liczb i dlatego interesujące), ew. pojęcie pierścienia (przemiennego). I pytanie czy są interesujące struktury nieprzemienne o podobnych własnościach. Okazuje się, że są np. macierze. Jak widać oderwaliśmy się trochę od zwykłych liczb naturalnych, ale jakiś związek pozostał. Zastanów się dlaczego z tylu możliwych definicji mnożenia macierzy, wybrana została właśnie ta jedna?
I w tym sensie związek matematyki z rzeczywistością nie jest przygodny, ale celowy. W Twoim rozumieniu równie uprawniony są system pusty, kółko i krzyżyk, szachy (rozumiane jako poprawne zapisy partii) i teoria mnogości. To jest właśnie pogląd, któremu sprzeciwiał się Hardy. Nie będziemy się licytować znajomością matematyków, albo tym kto zna sławniejszych ;-). Nota bene, laureat medalu Fieldsa, Smale, wśród problemów na nowe millenium wymienia (wśród abstrakcyjnych problemów) także opis funkcjonowania mózgu. A nawet te abstrakcyjne problemy nie są wcale tak oderwane od motywacji z innych nauk.
>Natomiast Szwejk zadał panom zagadkę purenonsens. Aksjomaty, jak się
>uprzemy można tu wprowadzić – jako dowolne założenia dowolnego
>systemu.
Nie należy brać tego przykładu zbyt dosłownie, bo wchodzimy w psychologię Szwejka. To ma być tylko pewna analogia. Chodzi po prostu o to, że niezależność pewnych zdań od aksjomatów nie jest niczym dziwnym, ale ma naturę podobną do problemu Szwejka. Np. z aksjomatów przemienności dodawania i rozdzielności mnożenia względem dodawania, nie da sie udowodnić przemienności mnożenia, bo zarówno liczby jak i macierze spełniają te aksjomaty, ale dla jednych mnożenie jest przemienne, dla drugich nie. Podobnie z tym domem Szwejka, informacje jakich udzielił (czyli aksjomaty, które Szwejk podał) nie są wystarczające dla odpowiedzi na jego pytanie i zapewne istnieją dwa domy o tych własnościach i różnych odpowiedziach na jego zagadkę. W tym sensie jest to porównywalne do problemów niezależności w logice (nota bene przykład pochodzi chyba z książeczki Diamenty matematyki, nie pamiętam już).
Nie ma jednak co się spierać, jest to po prostu sposób przybliżenia tych problemów, który nie każdemu musi się podobać, kwestia gustu. Nie należy jednak rozpatrywać go w kontekście książki Haska, a raczej myśleć o nim w sposób wyjaśniony powyżej.
>?Absolutnie prawdziwy? znaczy tyle co prawdziwy – matematyka to nie
>język naturalny, by trzeba było rozważać takie niuanse?
Nie chodziło o „absolutnie”, a o „prawdziwy”. Jeśli traktujesz matematykę jako system formalny, bez odwołania się do modelu (semantyki) tego systemu, to nie bardzo wiadomo co to znaczy. Można się umówić, że prawdziwy znaczy wtedy tyle samo, co możliwy do udowodnienia, ale wówczas zdanie którego się nie da udowodnić z definicji nie jest prawdziwe. Możemy też mówić, że zdanie jest prawdziwe w tym systemie jesli jest prawdziwe we wszystkich modelach, ale wtedy zdanie niewyprowadzalne nie jest prawdziwe, bo aksjomaty systemu + to zdanie tworzą system niesprzeczny, a takie systemy mają model. Stąd moje pytanie, bo przy każdej interpretacji Twoje wcześniejsze zdanie jest kontrowersyjne.
Nota bene, podobnie jak 90% matematyków, uprawiam „moją matematykę” w języku naturalnym, z pewnym dodatkiem notacji
symbolicznej. To samo robią nawet logicy, gdybyśmy chcieli wszystko
formalizować, wypowiedzenie zdania „2+2 = 4” zajęło by nam tyle czasu,
że w ogóle nie doszlibyśmy do ciekawej matematyki. A formalne sprawdzenie czy dwa opisy np. aksjomatu wyboru są równoważne (co widać „na oko”), zajęłoby pewnie kilka stron papieru a4. Posługiwanie
się językiem naturalnym jest możliwe w matematyce właśnie dzięki
intuicjom i wierze, że to nie tylko przepisywanie znaczków zgodnie
z jakimś systemem reguł.
Skrajny formalizm prezentujesz tez mówiąc, że zdanie „2+2=5” nie jest częścią matematyki. Takie formalizacje i mówienie o teoriach są dobre do badania systemów logicznych, ale są daleko upraszczające i nie mówią o tym czym naprawdę matematyka się zajmuje. W Twojej wizji nie jest już nawet potrzebny matematyk, wszystko sprowadza się do jakichś regułek. Przypomina mi to parodię przeformalizowanej matematyki z książki „Świat matematyki”,którą cytuje poniżej. Zapewniam Cię jednak, że nikt tak w prawdziwej matematyce nie robi.
„Spotkanie jest zbiorem uporządkowanym , gdzie
– M to ograniczona część przestrzeni euklidesowej
– P to skończony zbiór uczestników
– elementy c,s (różne) zbioru P zwane są odp. przewodniczącym i sekretarzem
– C_1 to skończony zbiór krzeseł
– C_2 – skończony zbiór filiżanek kawy
– element b nazywamy dzwonkiem
– i_1 jest iniekcją (funkcją różnowartościową) z P w C1
– i_2 jest funkcją z C_2 w P
– S jest uporządkowanym zbiorem przemówien
– i_3 jest odwzorowaniem z S w P o tej własności, że c należy do obrazu i_3
Gdy i_3 jest suriekcją (odwzorowaniem na cały zbiór) to mówi się zwykle, że każdy zabrał glos”
Hoko (i nie tylko):
Ściśle rzecz biorąc, definicja jest takim wytworem ludzkiej działalności (narzędziem), który ściśle ustala sposób użycia pewnego wyrażenia w pewnym języku. Nie ma tu mowy o prawdziwości. Sądzę, że w przypadku zdania ‚kawaler to nieżonaty mężczyzna’, związek z empirią jest istotny, i on właśnie powoduje, że z powyższym sądem łączymy nasze przeświadczenie (że jest właśnie tak, jak ten sąd głosi). Przygodne są być może wyrażenia języka, w którym wypowiadamy ten sąd.
Jeśli chodzi o poznanie syntetyczne, to jako zwolennik tezy o braku istotnej różnicy między ‚analitycznym’ a ‚syntetycznym’, skłonny jestem uznać, za Heglem, że poznanie to przebiega w następujący sposób: teza- antyteza – synteza… i kolejna teza, będąca antytezą syntezy syntezy; czyli przechodzenie ze sprzeczności w sprzeczność ;).
Wreszcie, powiedzmy to sobie szczerze i bez niedomówień: poznanie naukowe jest domeną cywilizacji łacińskiej 8).
No to przeczekałem spory kolegów, którzy zajęli się sporem o matematykę i powtórzę – cała ta dyskusja o „absolutnej pewności” sprowadza się do pytania o to, co rozumiemy przez „absolutną pewność” i Goedel ani Loyola ani klasowość nie mają tu nic do rzeczy.
Komerski: zgadzam się co do tych panów 🙂
A odnośnie zdań i pewności: „kawaler to nieżonaty mężczyzna” nie może (w żaden sposób!) być zdaniem w j. polskim fałszywym. Jego prawdziwość wynika z samyego znaczenia użytych słów. Natomiast zdanie „ten kawaler ma rude wąsy” może być fałszywe – bo odwołuje się do empirii. I do tego sprowadza się różnica między zdaniami analitycznymi a syntetycznymi. Dla mnie ten podział jest klarowny – choć oczywiście można by pewnie wykombinować zdania w tym aspekcie problematyczne.
m.:
Odnośnie definicji: dokładnie tak. W tym sensie „prawdziwy w danym systemie” to niesprzeczny z jego regułami.
hlmi:
Zgadza się: matematyka jest dla mnie „grą” słowną opisującą świat.
Sądząc z tego, że piszesz „matematykę tworzymy…” wnioskuję, że nie jesteś platonikiem – a więc poniekąd musisz być formalistą, tylko trochę innym niz ja 🙂 Chociaż z tą intuicją tak wyskakujesz… przyznawaj się, uznajesz zasadę wyłączonego środka??
Widzisz, problem polega na tym, że gdy piszesz „mówiąc liczba naturalna mam z reguły na myśli coś związanego z codziennym procesem liczenia”, to tak na prawdę nic z tego nie wynika. Bo „coś związanego z czymś” to nie jest nic, co dałoby się skonkretyzować i ujednoznacznić – a to jest konieczne, jeśli nauka ma różnić się od całej reszty „poznania”. Notabene obok zdań analitycznych i syntetycznych istnieją jeszcze zdania metafizyczne – i „codzienny proces liczenia” do tych bym właśnie zaliczył.
Odnośnie macierzy: chodziło mi o to, że z początku macierz bezpośrednio nie miała zastosowania do zjawisk empirii ( a potem nadała się w sam raz w mechanice kwantów). Ty uzasadniasz wynalezienie macierzy przez to, że ona została wyprowadzona z innych elementów matematyki. Doskonale! o tym miedzy innymi mówię: matematyka jest systemem, którego dowolny element da się sprowadzić do innych. A te które wyprowadzić nie dadzą, nie należą do systemu (analitycznego). Natomiast łącząc to (intuicyjnie…) z rzeczywistością odwołujesz się do jakichś pojęć pierwotnych związanych z empirią – liczba, o której nie wiadomo, czym tak na prawdę jest. Słowo stało się ciałem 😉
Wrócę jeszcze do Twojego oburzenia odnośnie cytatu z Ayera. Otóż – jak powszechnie wiadomo – nie trzeba być rybą, żeby być ichtiologiem. Trywializując nieco sprawę mógłbym odpowiedzieć, że pytać matematyka o to, czym jest matematyka, to tak jak pytać księdza o to, czym jest religia. Bo odpowiedź na pytanie „czym jest matematyka” nie leży w gestii matematyki, lecz w gestii metodologii matematyki – i szerzej, metodologiii nauk w ogóle.
Odnośnie książek: „Co to jest matematyka” czytałem – gdy byłem w odpowiednim po temu wieku 😉 . „Świata matematyki” nie czytałem, ale z tego, co znalazłem w sieci widzę, że jest to również pozycja popularyzująca. Ale fragmencik (z Onetu) spasuje tu jak ulał:
„Co to znaczy wiedzieć coś w matematyce? Jaki rodzaj znaczenia przekazują stwierdzenia matematyczne? Problemy nie do uniknięcia w codziennej praktyce matematycznej prowadzą do fundamentalnych kwestii epistemologicznych i ontologicznych, jednakże wielu profesjonalistów nauczyło się takie kwestie pomijać jako nieistotne.”
Przepraszam, że się nie wpisywałem i nie uczestniczyłem w dyskusji, którą wywołałem, ale na weekend musiałem wyjechać.
Hoko,
jestem akurat umiarkowanym platonikiem (umiarkowanym, bo
nie obchodzi mnie istnienie wielkich liczb kardynalnych 😉 ), a mówiąc tworzymy, mam na myśli wyznaczanie kierunków badań, tworzenie teorii aksjomatycznych, za którymi wg mnie kryje się w miarę konkretna treść. Decydując się na przyjęcie aksjomatów, przejmuję pewne wybory formalistów, ale to nie znaczy, że podzielam stanowisko Hilberta w kwestii uzasadnienia aksjomatyzacji. A odwołując się do intuicji podzielam pewne idee Poincarego, choc z innymi się nie zgadzam. I oczywiście uznaję zasadę wyłaczonego środka, jak przytłaczająca większość ludzi na tym świecie. Moje stanowisko jest wręcz bliskie stanowisku Goedla, nie widzę powodów dla których nie miałbym przyjmować istnienia zbiorów tak jak fizyk przyjmuje istnienie kwarków. Ta mieszanka czyni ze mnie pewnie matematycznego agnostyka, co mnie zbliża do Russela ;), choć w przeciwieństwie do niego, jako katolik mogę zrzucić problemy ontologiczne
na religię.
A poważnie, ponieważ nie widzę sensownego rozwiązania problemów
ontologicznych matematyki, nie uważam by miało to naprawdę jakiekolwiek znaczenie, tzn. nie uważam, żeby podejście platońskie
miało jakąkolwiek wadę w stosunku do innych. W związku z tym
moje zbyt duże zaangażowanie filozoficzne, którego rzeczywiście brakuje
wielu specjalistom, odbieram jako niepotrzebny balast i mój krzyż ;).
Naprawdę chciałbym być idealnym matematykiem – platonikiem,
parodiowanym również w książce „Świat matematyki”.
Podejście w tej książce jest nieco inne od wszystkich powyższych. Choć książka jest rzeczywiście popularna, wymaga od czytającego dużej kultury matematycznej (czytałem ją w liceum, z perspektywy czasu, wiem, że za wcześnie). Autorzy, zostawiając kwestie ontologiczne otwartymi, deklarują, że matematyka jest w pewnym sensie częścią wspomnianej tu noosfery (choć używają innego języka), i przyznają jej obiektom pewne obiektywne cechy. Mówią jednak o oddziaływaniu między matematyką i światem rzeczywistym, odbierają jej pewność ze względu na ogólną
omylnośc ludzką i, co najważniejsze, zrywają z podejściem do matematyki,
jako do formalnego systemu, a trakują ją jako część działalności naukowej i kulturowej. I tu się z nimi zgadzam, bo to, że w tej chwili
matematykę się uprawia na bazie teorii mnogości Zermelo-Fraenkla, nie znaczy, że zawsze tak będzie. Historycznie Goedel np. rozważał raczej rozgałęzioną teorię typów Russela, są też inne formalizacje, pochodzące np. od von Neumanna. To co jest istotne to właśnie intuicja i poglądowa treść twierdzeń matematycznych, to co mówią o świecie (szeroko rozumianym). W tym sensie obiekty matematyczne są dla mnie jak obiekty fizyczne (mikroskopowe), których znaczenie nie jest dla mnie wcale bardziej jasne niż matematycznych.
A żeby zrozumieć czym jest matematyka, trzeba wg mnie mimo wszystko
mieć jakąś praktykę w tej dziedzinie, filozof może filozofować, ale głupio
jest, gdy z jego wywodów widać, że nie wie o czym mówi (to nie jest uwaga pod żadnym konkretnym adresem). Podobnie jak wspomniany
przez Ciebie ksiądz, gdy mówi kategorycznie o życiu małzeńskim..
Uff, na tym credo skończę…
A zainteresowanym matematyką polecam blog Terrenca Tao, ubiegłorocznego laureata medalu Fieldsa, gdzie wśród wpisów dość trudnych, znajdują się też proste wyjaśnienia jego badań (szczególnie stosowanych):
http://terrytao.wordpress.com
choć przyznam, że może nie być tak łatwo wyszukać te prostsze fragmenty.
Jako fizyk- teoretyk jestem matematykiem stosowanym. Tym samym przyznaje sie do braku rozumienia ezoterycznej istoty teorii matematycznych. W praktyce, jak sadze, szukamy pewnych odwzorowan zachowania sie swiata fizycznego na wyidealizowane ale logicznie zwarte modele matematyczne. Niekiedy te odwzorowania czy relacje nie sa w pelni zadawalajace i wtedy moga byc konieczne jakies tworcze rozszerzenia. Przykladem takich relacji miedzy matematyka a fizyka moze byc teoria kwantow vs. teoria przestrzeni Hilberta czy teoria wzglednosci vs. rachunek tensorowy w przestrzeni wielowymiarowej Riemana.
hlmi:
jedno nie wyklucza drugiego – systemy formalne są właśnie „wynikiem działalności naukowej i kulturowej”. Matematyka jest „pewna” tylko wewnątrz „siebie” natomiast w stosunku do świata może być omylna – jak każdy język. I w pełni zgadzam się, że od popularyzacji ważniejsza jest minimalna chociażby praktyka: przebrnięcie przez stricte matematyczną książkę o algebrze abstrakcyjnej dało mi w tym zakresie więcej niż wszystkie „popularyzacje” (i przyznaję, że mimo iż objetościowo była to książeczka niewielka, była to jedna z cięższych lektur mojego życia 🙂 – bardziej oderwany od rzeczywistości jest już chyba tylko Derrida… )