1+1=3

21 listopada 2006
Blog szalonych naukowców

dragan.jpgJaka jest odpowiedź na to pytanie?

Zagadkę tej właśnie zwięzłej treści zadał mi ktoś niedawno. Zdanie niby proste, a wywołuje w głowie kleistą gmatwaninę myśli. Jak wiadomo, z logiką jest tak, że gdy ktoś jej nie rozumie, to zazwyczaj również nie rozumie, że jej nie rozumie. Bertrand Russell, wybitny matematyk, a na okrasę laureat literackiej (!) Nagrody Nobla słuszny odcinek swego życia poświęcił gruntownej analizie floresów języka logiki. Szczególnie interesowały go konstrukcje logiczne prowadzące na manowce. Zagadnienie ważne, bo z każdego nieprawdziwego zdania wynika dowolne inne zdanie. Gdy pewien niedowiarek zagadnął Russella, czy to zatem prawda, że ze stwierdzenia iż 1+1=3 wynika, iż Russell jest papieżem, ten bez wahania podał następujący dowód:

Przyjmijmy, że 1+1=3, a następnie odejmijmy od obu stron równania 1. Otrzymujemy 1=2. Papież i ja – rzekł Russell, – to dwie osoby, jednakże z otrzymanego równania wynika, że dwa to tyle samo co jeden. Zatem papież i ja jesteśmy jedną osobą.

Czyż nie urocze? Przyjrzyjmy się w takim razie pytaniu postawionemu we wstępie. Rozwiązywaniu tego typu problemów silnie sprzyja zazwyczaj posiadanie długopisu, kartki oraz kosza na śmieci (chociaż na przykład filozofom ten ostatni nie jest wcale potrzebny). Tu jednak na nic takie pomoce naukowe, odpowiedzi trzeba udzielić z głowy, czyli z niczego.

Spróbujmy:

„Jaka jest odpowiedź na to pytanie?”

W pytaniu jest odniesienie do niego samego. Jednakże poza samym sformułowaniem pytania, nie ma tam żadnej treści, do której można by się odnieść. Skoro tak, dowolna wewnętrznie spójna odpowiedź będzie odpowiednia. Pytamy, jaka jest odpowiedź, czyli udzielając jej, powinniśmy opisać nią samą. Choćby następująco:

„Odpowiedź jest krótka i składa się z dziewięciu wyrazów”.

Niby jakoś wybrnęliśmy, jednak można też udzielić innej odpowiedzi, sprzecznej z poprzednią. I tu właśnie napotykamy na interesujący problem. Podaliśmy bowiem przykład konstrukcji logicznej, która prowadzi do wzajemnie sprzecznych tez. Na gruncie podobnego spostrzeżenia Kurt Goedel podał 75 lat temu twierdzenie matematyczne dowodzące, w każdej aksjomatycznej teorii matematycznej da się sformułować takie zdanie, którego w ramach tej teorii nie da się ani udowodnić, ani obalić. Albo pytanie, na której nie można odpowiedzieć.

Niniejszym dobrnęliśmy szczęśliwie do następującego rarytasu łamigłówkowego, który chciałbym szanownemu Czytelnikowi przedłożyć do łaskawego rozważenia.

Jak wiadomo, premier Kaczyński kieruje się następującą zasadą: wszystkich, którzy nie przyznają się do przynależności do Układu oskarża o taką przynależność. Ponieważ jednak jest osobą z natury dobrotliwą i wybaczającą, to wszystkich, którzy sami się uprzednio przyznali, zostawia w spokoju. Spróbujmy zatem odpowiedzieć na pytanie, czy zgodnie z tą zasadą oskarża on o przynależność do Układu samego siebie? No bo jeśli oskarża (czyli sam się przyznaje), to wynikałoby z tego, że oskarżyć się nie może. Jeśli jednak się nie oskarża (czytaj: nie przyznaje), to nie pozostawia sobie wyboru i oskarżyć samego siebie musi.

I tylko dziw bierze, że dotąd nie zwróciła na to uwagi słynąca ze śledczej dociekliwości „Gazeta Wyborcza”…