Kokos i Steinhaus

5 lutego 2011
Blog szalonych naukowców

Niedawno w moim supermarkecie pojawiła się dostawa kokosów. Kupiłem jednego i nie bez trudu rozpiłowałem. Wszystkim smakował, kupiłem więc ponownie i znowu męczyłem się z piłą – dokumentuje to zdjęcie nad tekstem. Skorupa orzecha jest naprawdę twarda, nawet dobrą piłą walczyłem całkiem długo.
Wtedy zacząłem się zastanawiać, jak by można sobie oszczędzić wysiłku. Narzucający się pomysł, to wybrać takie miejsce, żeby było jak najmniej do przepiłowania, czyli najmniejsza powierzchnia przekroju skorupy (jądro jest tak miękkie, że można je zaniedbać). Piłując wzdłuż umownego równika ma się długie cięcie, ale prostopadłe do skorupy, czyli niewielkiej grubości. Wybierając równoleżniki bliższe bieguna, mamy krótsze cięcie, ale skorupa jest nachylona pod kątem i trzeba przepiłować grubszą warstwę twardej substancji. Który z tych efektów dominuje?


Szybko wymodelowałem kokos jako wydrążoną kulę o ściance stałej grubości, którą należy przeciąć płaszczyzną. Po chwili nietrudnych rachunków wyszło to, czego się intuicyjnie spodziewałem: jeśli tylko przekrój przechodzi przez wnętrze, to jego powierzchnia jest zawsze taka sama, bez względu na to, gdzie się wybierze płaszczyznę cięcia.
To o kokosie.

Teraz Hugo Steinhaus.
„Wiara w absolutną wartość matematyki łączy się z wiarą w istnienie przedmiotów matematycznych, takich jak liczby, funkcje, punkty, zbiory lub powierzchnie. Dziwna to religia i w tym podobna do wielu religij przewyższających ją liczbą wiernych, że nadprzyrodzone twory obdarza specjalnym rodzajem egzystencji, wobec którego zwykłe istnienie jest czymś złudnym i przemijającym. Bóstwa są żarłoczne – dla matematyka pur sang nie tylko więc istnieje idealna kula, ale pożarła ona wszystkie zwyczajne kule, tak że ani Księżyc, ani bańka mydlana nie jest kulą. Co zresztą matematycy są gotowi w tej chwili udowodnić. Ta postawa jest wroga nie tylko matematyce stosowanej, ale nawet niszczy wszystkie nauki przyrodnicze. [Hugo Steinhaus, Drogi matematyki stosowanej, 1948. Za: Hugo Steinhaus, Między duchem a materią pośredniczy matematyka, PWN 2000. Wyróżnienie jak w oryginale.]

Synteza.
Zadanie o kokosie, którego przypadkowym autorem zostałem, jest świetnym przykładem idealistycznego podejścia do matematyki, które mój Mistrz (tak myślę dziś o Steinhausie, choć nigdy Go nawet nie spotkałem i uprawiam zupełnie inne rejony matematyki, a czasem już nawet nie-matematykę) oskarżał o wrogość wobec matematyki stosowanej. Od początku miałem kłopot z jego sformułowaniem: jest w matematyce sfera, czyli powierzchnia kuli i kula sama też jest, ale nie ustalonej nazwy na sferę o niezerowej grubości ścianki, mimo że wszystkie praktycznie spotykane sfery taką mają. Jak się już problem ubierze w słowa, to zadanie wydaje mi się świetne, cóż lepszego niż mające sens praktyczny pytanie „gdzie ciąć?”, rozwiązanie, w którym należy wprowadzić parametr (np. odległość x płaszczyzny cięcia od środka), który potem się skraca i okazuje nie mieć wpływu na powierzchnię przekroju. Rozwiązanie jest na tyle łatwe, że można je omówić w gimnazjum – tylko Pitagoras i wzór na pole koła. Można by go użyć do przekonywania, że matematyka ma sens praktyczny.

Mimo to, i mimo wielu lat spędzonych wśród matematyków, nigdy tego zadania nie spotkałem. W ogóle nie widywałem zadań z geometrii, w których powierzchnie mają niezerowe grubości, punkty rozmiary, a odcinki jakiś kształt zakończenia. Idealizm ma się świetnie, a prasa donosi, że w matematyce nasi uczniowie wyglądają relatywnie dużo gorzej na tle rozwiniętego świata, niż w innych przedmiotach.

Jerzy Tyszkiewicz
ilustracja Jerzy Tyszkiewicz (CC SA)

P.S. Autentyczny kokos wydawał mi się bliższy elipsoidy obrotowej, którą, jak policzyłem, najlepiej jest ciąć na krótkim równiku.