O marynarzach i sprawiedliwości

Rozmawiałem niedawno z licealistami z Bednarskiej na temat różnych gier. W ramach jednej z dygresji na moment zajęliśmy się znaną grą w marynarza: kilkoro dzieci stoi w kółku, na „trzy – cztery” każde pokazuje rękę z wystawioną pewną liczbą palców. Wszystkie palce dodajemy, odliczamy w kółko, na kogo wypadnie na tego bęc!


Lekko zaszokowało nas odkrycie, że ta gra bywa niesprawiedliwa. Graliśmy w nią tyle razy jako maluchy, a nigdy tego nie dostrzegliśmy. A tymczasem to takie proste: dwie osoby, jedna dłoń, wolno wystawić od jednego do pięciu palców. Razem jest więc 5*5=25 równie prawdopodobnych układów, spośród których z konieczności jednemu z graczy przypada 13, a drugiemu 12.

Młodzież ma zamiar opisać to na Facebooku, a ja wolę „Politykę” (zacząłem ją czytać jak miałem tyle lat, co oni teraz – ciekawe czy Facebook będzie jeszcze istniał, gdy to oni będą w moim wieku).

Po chwili przyszło mi do głowy, że przecież gracze nie muszą wystawiać palców na chybił-trafił, tylko mogą się przedtem zastanowić. Przy dwóch graczach, każdemu z nich jest obojętne, czy wystawi 2 palce czy 4, tak samo bez różnicy są 1, 3 i 5. Po prostu zwiększenie bądź zmniejszenie sumy o wielokrotność 2 nie zmienia wcale wyniku, bo powoduje tylko dodatkowe pełne obiegi kółka, ale wybraniec na koniec jest i tak ten sam. W sumie identyczny efekt można mieć wystawiając tylko albo 1 albo 2 palce. Jak obaj tak policzą i zdecydują, gra będzie miała już tylko 4 możliwe przebiegi i będzie sprawiedliwa. Sprawiedliwość wraca do niej, bo przedtem wybory graczy nie były symetryczne: nieparzystą ilość palców można było wystawić na 3 sposoby, a parzystą tylko na 2. Teraz jest po równo.

A co będzie, gdy jest więcej graczy, pozwolimy wystawiać 0 palców, itp.? Już wiemy, że żeby sprawiedliwość była w ogóle możliwa, liczba różnych układów wystawionych palców przez wszystkich graczy musi dzielić się bez reszty przez ich liczbę. Ale są też inne zagrożenia. Jak wszyscy wystawią 0 palców, to kto zostanie wybrany? Chyba trzeba więc pokazywania zera zabronić. Albo jak 4 graczy wystawia tylko 1 lub 2 palce – możliwości jest 2*2*2*2=16, które dzieli się bez reszty przez 4, ale sprawiedliwości nie ma, bo ostatni w rzędzie ma dla siebie tylko dwie szanse (cztery jedynki i cztery dwójki), a przy równym podziale należałyby mu się cztery.

Po dalszych badaniach ustaliłem, że sprawiedliwość jest tylko wtedy, kiedy k graczy gra wystawiając od jednego do k palców. Dla małych k można też używać całkowitych wielokrotności k, późnej ręce okazują się za małe. Gdy zaczyna się liczyć „od nieba” , zgodnie z uświęconym dziecięcym obyczajem, nic się nie zmienia. Wariantom sprawiedliwym to nie szkodzi, a niesprawiedliwym nie pomaga.

Mimo, że nie ukończyłem jeszcze badań, śpieszę donieść o moich dotychczasowych ustaleniach szanownym Czytelnikom, bo a nuż mają dzieci, które trzeba jak najszybciej wyedukować, aby mogły odtąd grać w marynarza bez niczyjej krzywdy.

Jerzy Tyszkiewicz
Ilustracja Alicja Leszyńska